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Das Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach veranstaltet seit längerer Zeit in etwa zweijährigem Turnus Tagungen über numerische Methoden der Approximationstheorie. Die Vortragsauszüge der diesjährigen Tagung, die vom 13. bis 19. Juni stattfand, sind in dem vorliegenden Band zusammengefaßt. Die Themen lassen erkennen, daß es ein besonderes Anliegen der Tagungsleiter war, die Kluft zwischen abstrakter Mathematik und den Anwendungen verringern zu helfen. Approximationstheoretische Fragestellungen scheinen geeignet zu sein, hier neue Brü~ken zu schlagen. Der starke Zustrom ausländischer Mathe­ matiker, insbesondere aus Übersee, zeigt, daß diese Bestrebungen auch in an­ deren Ländern Resonanz finden. In zunehmendem Maße sind solche aus den (außer-und innermathematischen) Anwendungen herrührenden Fragestellungen zu behandeln, die sich nicht in klassische Approximationstheorie einordnen lassen. So wurde z. B. von Ver­ tretern der Nachrichtentechnik über in ihrem Bereich auftretende ungewöhnliche Approximationsprobleme berichtet. Andere Vorträge beschäftigten sich mit Approximationsfragen, die aus gewissen Aufgaben der angewandten Mathematik erwachsen (z. B. Behandlung von Differential-und Integralgleichungen). Zwei weitere Schwerpunkte bildeten die Beziehungen zur Optimierungstheorie, die insbesondere zu effektiven numerischen Verfahren führen, sowie Untersuchun­ gen über Spline-Approximationen. Professor Steckin aus Moskau war leider an der Teilnahme verhindert und hat statt dessen das hier abgedruckte Manuskript übersandt.

Der Band enthalt Manuskripte zu Vortragen, die auf einer von den Herausgebern geleiteten Tagung tiber Numerische Methoden der Approximationstheorie am Mathematischen Forschungsinstitut Ober wolfach in der Zeit vom 18. -24. Januar 1981 gehalten wurden. Das Spektrum der Vortrage reichte von der klassischen Approximations theorie tiber mehrdimensionale Approximationsverfahren bis hin zu praxisbezogenen Fragestellungen. Zu den zuerst genannten Gebieten gehorten z. B. die Verfeinerung von Fehlerabschatzungen bei der Polynominterpolation, Fragen zur Eindeutigkeit, Charakterisierung optimaler Interpolationsprozesse und Algorithmen zur rationalen Interpolation. Bei den weiteren genannten Gebieten spiegel ten zahlreiche Vortrage das steigende Interesse an der mehrdimensio nalen Interpolation, insbesondere mit verschiedenen Arten von Splines wider. Hier standen u. a. Probleme der Parameterschatzung in der Medizin und Flugtechnik, Fragen der Approximationstheorie bei der Konstruktion von Plottern und stabile Algorithmen beim Arbeiten mit mehrdimensionalen B-Splines im Mittelpunkt des Interesses. Die Tagung lieferte einen reprasentativen Ueberblick tiber die aktuellen Trends in der Approximationstheorie. Zum guten Erfolg der Tagung trug wie immer die hervorragende Be treuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Instituts so-' wie das verstandnisvolle Entgegenkommen des Institutsdirektors, Herrn Professor Dr. Barner, bei. Un serer besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag ftir die wie stets sehr gute Ausstattung. Helmut Werner Lothar Collatz Gtinther Meinardus Hamburg Mannheim Bonn 7 INDEX Blatt, H. -P. Strenge Eindeutigkeitskonstanten und Fehlerabschatzungen bei linearer Tschebyscheff-Approximation 9 Bohmer, K. Polynom- und Spline-Interpolation (Ein Farbfilm) 26 Brannigan, M. A Multivariate Adaptive Data Fitting Algorithm 30 Brass, H. Zur numerischen Berechnung konjugierter Funktionen 43 Bultheel, A.

Dieser Band bringt Manuskripte zu Vorträgen einer Tagung, die in Oberwolfach vom 3. 6. bis 9. 6. 1973 unter Leitung der Unterzeichner veranstaltet wurde. Die letzte Tagung über numerische Probleme der Approximationstheorie in Oberwolfach fand 1971 statt. Daher hatte die jetzige Veranstaltung das Ziel, den in der Zwischenzeit erreichten Fortschritt auf diesem Gebiet durch ausgewählte V orträge erkennen zu lassen. Die große Zahl der Vorträge sowie die Fülle der behandelten Themen zeigte die wachsende Bedeutung, die diesem Gebiet auch in der Zukunft für die Anwendungen zukommt und macht deutlich, daß Tagungen dieser Art künftig in kürzeren Zeitabständen stattfinden sollten. Hervorzuheben ist, daß neben approximationstheoretischen Vorträgen und solchen aus der Optimierung auch neue Fragestellungen aus der Praxis (vgl. etwa die Vorträge der Herren Kubik und Gutknecht) vorgetragen wurden, die z. T. noch einer exakten mathematischen Form bedürfen. Hieraus können sich fruchtbare Impulse sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für die eng mit der Praxis verbundene wissenschaftliche Tätigkeit ergeben. Die 49 Teilnehmer, darunter aus Rumänien, Großbritannien, den USA, der Schweiz, den Niederlanden, Frankreich, Bulgarien, Kanada, Ungarn und Bel­ gien, konnten durch den regen Gedankenaustausch viele Anregungen für ihre wissenschaftliche Arbeit gewinnen. Unser besonderer Dank gilt dem Birkhäuser Verlag für die gute Ausstattung dieses Bandes und dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Ober­ wolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern, Frau Dipl.-Math.

Die Funktionalanalysis hat nunmehr fUr die Numerische Mathematik eine so grosse Bedeutung erlangt, dass es angebracht ist, sie als die grundlegende Diszi­ plin fUr die Numerische Mathematik anzusehen. Sie ermoglicht eine einheitliche Behandlung und Darstellung von Problemen, die in der klassischen Mathematik noch verschiedenen Gebieten angehoren. Es versteht sich von selbst, dass sich dabei die Numerische Mathematik und die Funktionalanalysis wechselseitig befruchtet haben. So war es auch das Ziel zweier Arbeitstagungen, den Zusammenhang der Funk­ tionalanalysis mit der Numerischen Mathematik, insbesondere der Behandlung von Differentialgleichungen und der Approximationstheorie zu verdeutlichen. Das Mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach hat in dankenswerter Weise den Rahmen fUr anregende Diskussionen in personlicher und herzlicher Atmosphare bereitgestellt. Die vorangehenden Tagungen (Juni 1964, Juni 1965, November 1965) hatten ein sehr gutes Echo gefunden. Daher fanden nun zwei weitere Tagungen statt: 20. bis 25. Juni 1966 tiber: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen unter der Leitung der Herren COLLATZ und UNGER 13. bis 19. November 1966 tiber: Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie unter der Leitung der Herren COLLATZ und MEINARDUS Wie schon die Titel der Tagungen andeuten, standen Probleme der Differential­ gleichungen und der Approximationstheorie im Vordergrund. Daneben wurde eine interessante Entwicklung sichtbar, die besonders fUr das numerische Rech­ nen auf elektronischen Rechenanlagen von grosser Wichtigkeit sein wird: die Intervallanalysis, insbesondere das Prinzip der Intervallarithmetik. Die Inter­ vallarithmetik ermoglicht eine Fehlererfassung unter Einschluss aller Rundungs­ fehler.

Der vorliegende Band gibt hauptsächlich Vorträge wieder, die in der Zeit vom 25. bis 27. September 1974 auf einem an der Technischen Universität Claus­ thai abgehaltenen, von den Unterzeichneten geleiteten Kolloquium über «Finite Elemente und Differenzenverfahrem> gehalten wurden. Diese beiden Methoden sind wohl die z. Z. am meisten verwendeten numerischen Näherungsverfahren zur angenäherten Lösung von Anfangs­ und Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen, linearen und nichtli­ nearen Differentialgleichungen. Die im Laufe der letzten 2 bis 2Y2 Jahrzehnte entwickelte Methode der finiten Elemente hat wegen ihrer großen Flexibilität und Anwendbarkeit auch bei sehr komplizierten Aufgaben besonders in den Anwendungsgebieten großen Anklang gefunden, und es werden z. B. bei Problemen der Kontinuumsmechanik auf Computern Probleme mit über 10 000 nichtlinearen Gleichungen numerisch bewältigt. Trotz der außeror­ dentlichen praktischen Erfolge sind erst in neuerer Zeit von mathematischer Seite aus Versuche unternommen worden, eine strenge Fehleranalyse durch­ zuführen; exakte Fehlerschranken für die auf dem Computer berechneten Näherungen lassen sich z. Z. nur für relativ einfache Probleme angeben. Einige der Vorträge berichten über derartige Möglichkeiten, deren weiterer Ausbau als wichtige Aufgabe für künftige mathematische Forschung erscheint, andere Vorträge über Weiterentwicklungen numerischer Methoden, über Konvergenzordnungen und über Vergleiche verschiedener Verfahren miteinander. Das Ziel der Tagung war, dazu beizutragen, die z. Z. auf dem Gebiete der numerischen Behandlung von Differentialgleichungen bestehende Diskrepanz zwischen Theorie und Praxis ein wenig zu verringern.

Im November 1967 fand im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) eine weitere Tagung über Funktionalanalysis und Numerische Mathematik statt. Ebenso wie die vorangehenden Tagungen in den Jahren 1964, 1965 und 1966 erfreute sich auch diese Tagung eines guten Echos. Fachleute aus verschiedenen Nationen und aus den verschiedensten Gebieten der Funktionalanalysis und der Numerischen Mathematik und aufstrebende junge Mathematiker vereinte das Institut bei Vorträgen und Diskussionen. Besonders deutlich wurde wieder, dass sowohl tiefere Einsichten in die Rech­ nungsweise der Computer - man denke an die Methoden der Intervallarithme­ tik - als auch die Ausnutzung neuester Ergebnisse der abstrakten Funktional­ analysis für fruchtbare Forschungen in der Numerischen Mathematik unent­ behrlich sind. Dies war auch das Ergebnis einer ausführlichen Diskussion über Stellung und Aufgabe der Numerischen Mathematik. Die hier wiedergegebenen Vorträge aus den Gebieten der Approximations­ theorie, Differentialgleichungen, Intervallarithmetik, Iterationsverfahren und 1 der Optimierungstheorie vermitteln einen Eindruck von der Mannigfaltigkeit der Probleme der Numerischen Mathematik. Die Tagungsleiter danken allen Teilnehmern, die durch ihre Beiträge und ihr Interesse zum Erfolg der Tagung beigetragen haben. Ebenso danken sie dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern dafür, dass die Tagung aufgrund ihrer Gastfreundschaft und Hilfsbereitschaft den Teilnehmern in angenehmer Erinne­ rung bleiben wird. Schliesslich sei dem Birkhäuser Verlag der besondere Dank für die gute Aus­ stattung dieses Buches und die stete Förderung ausgesprochen.

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Schulte von der Geschäftsstelle in Freiburg für alle redaktionelle Hilfe, ferner dem Birkhäuser Verlag für die wie stets sehr gute Ausstattung des Buches und alle Förderung.

Am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach fand in der Zeit vom 18. bis 24. November 1973 eine Tagung über «Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben» unter der Leitung der Unterzeichneten statt, auf der naturgemäß die Fortschritte gegenüber den 1967, 1969 und 1971 durchgeführten Tagungen mit gleichem Titel im Vordergrund des Interesses standen. Auf dieser Tagung über Optimierungsaufgaben wurde die Anwendungsbezo­ genheit des Gebietes wieder besonders deutlich. Im Mittelpunkt stand eine Reihe von Vorträgen über nichtlineare Optimierungsaufgaben. Es konnte über Fortschritte sowohl bei der praktischen Erprobung der Verfahren als auch bei ihrer theoretischen Begründung berichtet werden. Trotzdem blieben noch manche Fragen offen. Ein weiterer Schwerpunkt war die numerische Behandlung von Problemen der optimalen Steuerung. Besonderen Anklang fanden auch eine Reihe von V or­ trägen über Probleme aus den Anwendungsgebieten. Zum Gelingen der Tagung trug nicht zuletzt die ausgezeichnete Betreuung durch das Personal des Instituts und das für diese Jahreszeit ungewöhnlich schöne Wetter bei. Ferner sei der beste Dank dem Leiter des. Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Professor Dr. M. Barner, und dem Birkhäuser Verlag ausgesprochen. Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5 . . B. R. DAMSTE, Wageningen : Minimalisierung durch Anlegung eines Gra- tationsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9 . . B. FLEISCHMANN, Hamburg: Eine Kombination des Branch-and-Bound­ Prinzips und der dynamischen Optimierung an einem Beispiel aus der Produktionsplanung . . . . . . . .. . .......... 11 W. FÖRSTER, Southampton: Über die numerische Lösung nichtIinearer Optimierungsprobleme bei Vorhandenseingewisser Invarianzeig- schaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13 . .

Dieser Band bringt Manuskripte zu Vortragen einer Tagung, die in Oberwolfach vom 3. 6. bis 9. 6. 1973 unter Leitung der Unterzeichner veranstaltet wurde. Die letzte Tagung uber numerische Probleme der Approximationstheorie in Oberwolfach fand 1971 statt. Daher hatte die jetzige Veranstaltung das Ziel, den in der Zwischenzeit erreichten Fortschritt auf diesem Gebiet durch ausgewahlte V ortrage erkennen zu lassen. Die grosse Zahl der Vortrage sowie die Fulle der behandelten Themen zeigte die wachsende Bedeutung, die diesem Gebiet auch in der Zukunft fur die Anwendungen zukommt und macht deutlich, dass Tagungen dieser Art kunftig in kurzeren Zeitabstanden stattfinden sollten. Hervorzuheben ist, dass neben approximationstheoretischen Vortragen und solchen aus der Optimierung auch neue Fragestellungen aus der Praxis (vgl. etwa die Vortrage der Herren Kubik und Gutknecht) vorgetragen wurden, die z. T. noch einer exakten mathematischen Form bedurfen. Hieraus konnen sich fruchtbare Impulse sowohl fur theoretische Untersuchungen als auch fur die eng mit der Praxis verbundene wissenschaftliche Tatigkeit ergeben. Die 49 Teilnehmer, darunter aus Rumanien, Grossbritannien, den USA, der Schweiz, den Niederlanden, Frankreich, Bulgarien, Kanada, Ungarn und Bel gien, konnten durch den regen Gedankenaustausch viele Anregungen fur ihre wissenschaftliche Arbeit gewinnen. Unser besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag fur die gute Ausstattung dieses Bandes und dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Ober wolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern, Frau Dipl.-Math."

Brannigan, M. A Multivariate Adaptive Data Fitting Algorithm 30 Brass, H. Zur numerischen Berechnung konjugierter Funktionen 43 Bultheel, A.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K. Bohmer: Defekt-Korrektur-Methoden fUr das zentrale Euler-Verfahren bei Randwertproblemen gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . 42 C. M. Elliott: Moving boundary problems and linear complementarity . . . . . . . 62 . H.

Ein Quotienteneinschluss bei Spline-Eigenwertaufgaben .............. 69 P. de Mottoni Stability of the positive Equilibrium Solution for a Class of Quasilinear Diffusion Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 85 . . . . . . . . . . . . .

This conference was held at the Mathematical Research Institute in Oberwolfach from 30 November to 6 December 1986 under the direc­ tion of J. Albrecht (Clausthal-Zellerfeld), L. Collatz (Hamburg), W. Velte (Wlirzburg) and W. Wunderlich (Bochum). Focal points during the meeting were eigenvalue problems in the engineering sciences and in industry, methods for calculating bounds for eigenvalues, and matrix eigenvalue problems. Central to the lectures on eigenvalue problems pertinent to the engineering sciences and industry were oscillation and stability problems; for these, numerical treatment drew mainly on finite­ element methods in the lectures as well as in the ensuing discus­ sions, questions concerning the quality of the mathematical models applied, and the choice of appropriate finite elements, were given wide latitude. Other lectures addressed new research results in the calculation of (primarly lower) bounds for eigenvalues. The ramifications of these results were illustrated by numerous examples taken from fields in the engineering sciences and physics. The extensive use of finite-element methods (made possible in the wake of major computer advances) has led to new research in matrix eigenvalue problems, and several lectures reported on results which have been achieved in this area.

. . . . . . . . . . .. . . . l34 . . . . . . . . . . W.R. RICHERT: Ober Intermediateprobleme zweiter Art . . . . . . . . .. . . 140 . S. SARMAN: Numerische DurchfUhrung der inversen Liouville-Transf- mation ................................................. 154 H.R. SCHWARZ: Zur Eigenwertaufgabe Ax = ?Bx . . . . . . . . . . . . .. . . 161 . . .

Methods for the Solution of Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .