Bücher von Ernst Kunz

Das Problem, Gleichungen zu losen, hat die Entwicklung der Algebra uber mehr als zwei Jahrtausende begleitet. Geometrische Aufgaben lassen sich in die Algebra ubersetzen und in deren praziser Sprache behandeln. Es ist das Leitmotiv des Buches, die Theorie anhand leicht verstandlicher Probleme zu entwickeln und durch ihre Losung zu motivieren. Dabei lernt man kennen, was zu einer Einfuhrung in die Algebra im Grundstudium gehort: Die Korper mit ihren Er weiterungen bis hin zur Galoistheorie, ferner die elementaren Tec hniken der Gruppen- und Ringtheorie. Der Text enthalt 350 Ubungsa ufgaben von verschiedenen Schwierigkeitsgraden einschlielich Hin weisen zu ihrer Losung.Das Buch grundet sich auf die Erfahrungen des Autors mit mehreren Generationen von Studenten und ist besonders zu empfehlen fur Le hrer und solche, die es werden wollen.

Originally published in 1985, this classic textbook is an English translation of Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. It presents areas of commutative algebra that are best understood together.

This book is based on a lecture course that I gave at the University of Regensburg. The purpose of these lectures was to explain the role of Kähler differential forms in ring theory, to prepare the road for their application in algebraic geometry, and to lead up to some research problems. The text discusses almost exclusively local questions and is therefore written in the language of commutative alge­ bra. The translation into the language of algebraic geometry is easy for the reader who is familiar with sheaf theory and the theory of schemes. The principal goals of the monograph are: To display the information contained in the algebra of Kähler differential forms (de Rham algebra) of a commutative algebra, to int- duce and discuss "differential invariants" of algebras, and to prove theorems about algebras with "differential methods". The most important object we study is the module of Kähler differentials n~/R of an algebra SIR. Like the differentials of analysis, differential modules "linearize" problems, i.e. reduce questions about algebras (non-linear problems) to questions of linear algebra. We are mainly interested in algebras of finite type.

Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge­ setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge­ braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.

Der Text ist eine erweiterte Fassung einer Algebravoriesung, die ich im Winterse­ mester 1971/72 und dann noch einmal im Wintersemester 1990/91 an der Universitat Regensburg gehalten habe. Diese Vorlesung richtete sich hauptsachlich an Studenten im dritten Fachsemester. Es waren Vorlesungen "Lineare Algebra I und II" vorausge­ gangen, die schon so angelegt waren, daB anschliefiend in einem einsemestrigen Kurs die Algebra bis zu den Grundziigen der Galoistheorie entwickelt werden konnte. Die "Lineare Algebra I" behandelte i. w. den Inhalt des Buches [F] von Gerd Fischer, also Vektorraume, lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten einschliefilich der einfachsten Tatsachen iiber Gruppen und Ringe. Die "Lineare Algebra II" war auf die beabsichtigte Fortsetzung in der Algebra-Vorlesung zugeschnitten. Sie ent­ hielt u. a. die Teilbarkeitstheorie in Ringen, die den jetzigen § 4 ausmacht, femer die lineare Algebra fiir Moduln iiber kommutativen Ringen bis hin zum Hauptsatz fiir Moduln iiber Hauptidealringen. Yom Leser dieses Textes wird daher erwartet, daB er schon etwas mit Ringen und Moduln umgehen kann. 1m Gegensatz zu vielen Lehrbiichem der Algebra ist der Stoff nicht nach dem Schema "Gruppen-Ringe-Korper" organisiert. Vielmehr wollte ich eine wohlmoti­ vierte Einfiihrung in die Korper- und Galoistheorie geben, die besonders auch die In­ teressen der Lehramtsstudenten beriicksichtigt, und in der jeweils der nachste Schritt durch den vorhergehenden nahegelegt wird. Ich beginne, dem Beispiel meines Leh­ rers F. K.