Bücher der Reihe Elemente Der Mathematik Vom Hoeheren Standpunkt Aus

Meine Zahlentheorievorlesung des vergangenen Wintersemesters, deren Niederschrift ich hiermit dem mathematischen Publikum unter­ breite, hatte zwei Ziele. Das erste war, die Rechenfertigkeit meiner Hörer zu verbessern. Dabei meine ich mit Rechenfertigkeit nicht etwa Rechenschnelligkeit, die im Rechenunterricht der Schule, wie ich. wiederum durch meine Kinder weiß, allzusehr in den Vordergrund gerückt wird. Rechenfertigkeit sollte zu allererst Rechensicherheit mit sich bringen, denn Schnelligkeit bedeutet gar nichts, wenn das Ergeb­ nis falsch ist. Man sollte sich also Zeit lassen beim Rechnen. Man sollte sich Rechenaufgaben erst einmal ansehen, bevor man anfängt zu rechnen. Denn Zahlen sind Individuen, und ein geschickter Rechner wird ihre individuellen Eigenschaften bei der Rechnung nutzen. Re­ chenfertigkeit heißt also auch, daß man Rechenvorteile erkennt und nutzt. Das fängt schon damit an, daß man den Malpunkt zwischen zwei Zahlen nicht als zwingenden Befehl auffaßt, die Multiplikation auch wirklich auszuführen. (Wer glaubt, so etwas brauche man nicht zu erwähnen, der beobachte einmal, wie viele überflüssige Rechnungen Kinder machen, wenn sie Brüche addieren, multiplizieren oder der Größe nach vergleichen. ) Solcherlei predige ich immer wieder meinen Kindern, und solcherlei wollte ich auch den Hörern meiner Vorlesung nahebringen. Hierzu gehört natürlich auch zu zeigen, wie man Sätze der Zahlentheorie benutzen kann, um zu numerischen Resultaten zu kommen. Daß dies möglich ist, ist schließlich nicht verwunderlich, entstand doch ein großer Teil der Zahlentheorie aus den Bedürfnissen der Rechenpraxis; man denke etwa an Euler, der z. B.

Das vorliegende Buch ist aus einer sechzehnstiindigen Vorlesung hervorgegangen, die ich im Jahre 1971 am Mathematischen Institut der Universitat zu Jyvaskyla in Finnland gehalten habe. Mit diesem Buch wende ich mich an Studenten der Mathematik, die eine gewisse Fertigkeit und Sicherheit in der Anwendung transfiniter Methoden auf die Untersuchung unendlicher algebraischer Strukturen erwerben mochten. Ich war bestrebt, aus zumeist klassischem Material eine geeignete und abwechslungsreiche Auswahl zu treffen. Obwohl diese Schrift yom Inhalt her dem Spezialisten kaum etwas Neues zu bieten hat, diirfte sie in methodischer Hinsicht an einigen Stellen mehr oder weniger neue Gesichtspunkte enthalten. Die Lektiire dieses Buches erfordert keine besonderen mathemati­ schen Vorkenntnisse, doch setzt sie eine gewisse Vertrautheit mit der abstrakten Algebra und der Mengenlehre sowie vielleicht ein wenig Routine im mathematischen Denken voraus, iiber die aber ein Student in hoheren Semestern verfiigt. Die im Rahmen dieses Buches nicht defi­ nierten Begriffe kann der Leser in jedem ausfiihrlicheren Lehrbuch der Algebra und der Mengenlehre, z. B. in dem von REDEl [1]1 und HALMOS [1], finden. Das Literaturverzeichnis am Ende dieses Buches solI bei einem vertiefteren Studium helfen. Mein aufrichtiger Dank gilt den Herren Prof. Dr. G. FODOR und Dr. G. POLLAK, die das Manuskript dieses Buches sorgfaltig durchgelesen und mir durch kritische Bemerkungen geholfen haben. Mein besonderer Dank gilt meinem Freund, Herrn Dr. CARL-GuNTER D'AMBLY, der den Text des Manuskriptes kritisch gepriift und mich in Fragen des deutschen Stils beraten hat.