Bücher der Reihe Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen uber die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknupfend an fruhere Ansatze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefate und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung fur die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere ublichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel mochte ich hervorheben, da die zeit- weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GODEL folge die Undurchfuhrbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtum- lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, da man fur die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand- punkt in einer scharferen Weise ausnutzen mu, als dieses bei der Be- trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Gottingen, im Marz 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro- bleme erwachsen ist, wurde schon seit langerem von HILBERT ange- kundigt.

Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Analysis, der auf viele der bedeutendsten Mathematiker und Naturforscher anziehend und anregend gewirkt hat. Der Antrieb, dieses Buch zu schreiben, ging vor allem an- deren von dem Bestreben aus, den Studierenden und all denen, die bei ihren wissenschaftlichen Arbeiten Methoden der Variationsrechnung be- notigen, eine Vorstellung davon zu vermitteln. Sicher ist es wunschens- wert, da die reinen Mathematiker die Anregungen, die die Anwen- dungen zur Ausbildung dieser Disziplin geboten haben und bieten, ken- nenlernen, und zwar in einer Weise, die nicht allzu groe Opfer an Zeit verlangt. Dagegen sucht der augewandte Mathematiker, der Physiker und der Techniker in erster Linie Methoden, die es ihm ermoglichen, praktische Probleme zu losen und, was vielleicht von noch groerer Bedeutung ist, es gewahrt ihm eine innere Befriedigung, grundlegende Satze und allgemeine Prinzipe in moglichst durchsichtiger Form erlautert zu finden. Bei der Abfassung dieses Buches schien mir auch folgende Uberlegung beachtenswert: Wohl hat oft ein Physiker oder Techniker von vornherein eine gewisse Scheu, kritischen Betrach- tungen, wie sie nun einmal vom rein mathematischen Standpunkt aus notig sind, zu folgen. Aber es hat sich schon oft gezeigt, da gerade solche kritische Betrachtungen mit den Bedurfnissen dieser Gruppe von Lesern in engerem Zusammenhang stehen, als es auf den ersten Blick hin erscheinen mag. Als meine Hauptaufgabe sah ich es an, hier eine passende Art der Darstellung zu finden, die sich an beide Gruppen von Lesern wendet.

die Matrizen, die zu Transpositionen gehoren, nicht nur (wie bei der naturlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin- schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen fast immer gebraucht wird (IV 5 und 6). In VIII 5 ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz uber die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden war. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag und der Druckerei fur das bereitwillige Eingehen auf alle meine Wunsche und ebenso den Herren Dr. A. KERBER und H. PAHLINGS, die mich bei der Redaktion dieser Auf- lage mit Rat und Tat unterstutzt haben. H. BoERNER Gieen, im August 1967 Vorwort zur ersten Auflage Die Darstellungstheorie der Gruppen ist eines der reizvollsten Bei- spiele fur die Wechselwirkung zwischen Physik und reiner Mathematik. Wenige lahre vor der lahrhundertwende fuhrte der Algebraiker G. FROBENIUS die Gruppencharaktere und den Begriff der Darstellungen ein; ein Jahrzehnt lang enthielt nun fast jeder Band der Berliner Sitzungs- berichte eine oder mehrere der schonen Arbeiten von FROBENIUS und 1. SCHUR uber diesen Gegenstand. Unterdessen hatte mit dem neuen Jahrhundert in demselben Berlin die Quantentheorie das Licht der Welt erblickt - aber niemand ahnte, da ein Vierteljahrhundert spater beide Theorien in so innige Wechselwirkung treten wurden. Das geschah in Gottingen, nachdem dort in enger raumlicher und geistiger Nachbar- schaft zu dem Algebraikerkreis um EMMY NOETHER die Born-Heisenberg- sehe Quantenmechanik entstanden war.

Der vorliegende Band schliet die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes uber- nommen. Ich danke ihm fur die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs starkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe ware die Vollendung dieses Buches unmoglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich fur ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Gottingen, im Marz 1939 HILBERT Zur Einfuhrung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung uber den gegenwartigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn- gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an pragnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Fur die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsachlichen, an das e-Symbol sich knupfenden beweistheoretischen Ansatze HILBERTS und ihre Durchfuhrung zur ein- gehenden Darstellung zu bringen.

We now apply the algorithm above to find the 121 orbits of norm -2 vectors from the (known) nann 0 vectors, and then apply it again to find the 665 orbits of nann -4 vectors from the vectors of nann 0 and -2. The neighbors of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice can be found as follows. If a norm -4 vector v E II . corresponds to the sum 25 1 of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice A and a !-dimensional lattice, then there are exactly two nonn-0 vectors of ll25,1 having inner product -2 with v, and these nann 0 vectors correspond to the two even neighbors of A. The enumeration of the odd 24-dimensional lattices. Figure 17.1 shows the neighborhood graph for the Niemeier lattices, which has a node for each Niemeier lattice. If A and B are neighboring Niemeier lattices, there are three integral lattices containing A n B, namely A, B, and an odd unimodular lattice C (cf. [Kne4]). An edge is drawn between nodes A and B in Fig. 17.1 for each strictly 24-dimensional unimodular lattice arising in this way. Thus there is a one-to-one correspondence between the strictly 24-dimensional odd unimodular lattices and the edges of our neighborhood graph. The 156 lattices are shown in Table 17 .I. Figure I 7. I also shows the corresponding graphs for dimensions 8 and 16.

Initially the theory of convergence in law of stochastic processes was developed quite independently from the theory of martingales, semimartingales and stochastic integrals. Apart from a few exceptions essentially concerning diffusion processes, it is only recently that the relation between the two theories has been thoroughly studied. The authors of this Grundlehren volume, two of the international leaders in the field, propose a systematic exposition of convergence in law for stochastic processes, from the point of view of semimartingale theory, with emphasis on results that are useful for mathematical theory and mathematical statistics. This leads them to develop in detail some particularly useful parts of the general theory of stochastic processes, such as martingale problems, and absolute continuity or contiguity results. The book contains an elementary introduction to the main topics: theory of martingales and stochastic integrales, Skorokhod topology, etc., as well as a large number of results which have never appeared in book form, and some entirely new results. It should be useful to the professional probabilist or mathematical statistician, and of interest also to graduate students.