Bücher der Reihe Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

The general objective of this treatise is to give a systematic presenta- tion of some of the topological and measure-theoretical foundations of the theory of real-valued functions of several real variables, with particular emphasis upon a line of thought initiated by BANACH, GEOCZE, LEBESGUE, TONELLI, and VITALI.

In the preface to Volume One I promised a second volume which would contain the theory of linear mappings and special classes of spaces im portant in analysis. To the six chapters of Volume One I added two new chapters, one on linear mappings and duality (Chapter Seven), the second on spaces of linear mappings (Chapter Eight).

The type problem evolved in the following somewhat overlapping steps: the Riemann mapping theorem, the classical type problem, and the existence of Green's functions.

Mehrere Grunde bewogen mich, den Plan zu einem Buch uber Quantenmechanik zu entwerfen, obwohl es in der Literatur schon manche Darstellung dieses Gebietes gibt. Einmal traf man bei den Lernenden immer wieder auf die Auf fassung, dass die Quantentheorie nur ein Provisorium der theoretischen Physik sei, aber zumindest noch einer genaueren Begrundung bedurfe, da sowohl der mathematische Formalismus nicht exakt fundiert sei als auch die physikalische Interpretion sehr nach Gefuhl in jedem Einzelfall durchgefuhrt wurde. Nachdem das Buch von J. v. NEu MANN, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, vergriffen war, konnte man kaum ein entsprechendes Werk empfehlen, das im physikalischen Zusammenhang die mathematischen Grundlagen klar legt. In dem vorliegenden Buche ist die eigentiiche Quantenmechamk (also ohne Feldtheorie) in der Weise dargestellt, dass man sie als em mathematisch wohlbegrundetes und in sich genauso widerspruchs freies und abgeschlossenes System erkennt, wie die klassische Punkt mechanik. So wie die Krafte, d. h. so wie die HAMILTON-Funktwn, in der klassischen Mechanik gegeben sein mussen, so m der Quanten mechanik der HAMILTON-Uperator. Die Herleitung eines Ansatzes fur den HAMILTON-Operator eines Problems aus anderen Gebieten der Physik wird deshalb hier nicht naher begrundet. Neben dem Wunsch, die Quantenmechamk als ein in sich geschlos senes Gebiet darzustellen, bestand ein zweiter Grund fur die Abfassung des Buches in der inneren Harmonie zwischen mathematischer und physikalischer Struktur. Je grosser die abstrakte Schonheit einer Theo rie, desto grosser auch ihr Wahrheitsgehalt. Die innere Harmonie m der Struktur der Materie zu erkennen, d. h.

Problem oriented programming languages as they have developed over the last ten years essentially serve two purposes which somewhat crudely can be described by the terms man-man communication and man-machine communication, respectively.

The development of the internationally standardized language ALGOL has made it possible to prepare procedures which can be used without modification whenever a computer with an ALGOL translator is available.

(egalite 3. 4). Ce complexe T*(A,B) per met de definir les modules d'homo- logie de l'algebre (definition 3. 11) Hn(A,B, W) = Yt,,[T*(A,B)@B W] et les modules de cohomologie de l'algebre (definition 3. 12) Hn(A,B, W) = Yfn[HomB(T*(A,B), W)]. En particulier l'homologie et la cohomologie d'une algebre libre sont triviales (corollaire 3. 36). Quant au module Ho(A,B,B) il est toujours isomorphe au module des differentielles de Kaehler QBIA (proposition 6. 3). Lorsque l'anneau Best un quotient de l'anneau A, la situation est simple en degre 1 (proposition 6. 1) H (A, B, W) ~ Tor}(B, W) I et en degre 2 (theoreme 15. 8, propositions 15. 9 et 15. 12) H (A,B, W) ~ Tor1(B, W)jTor}(B,B). Tor}(B, W). 2 En ajoutant des variables independantes a l'anneau A, il est d'ailleurs possible de se ramener a ce cas particulier (corollaire 5. 2). Dans cette theorie, les modules d'homologie relative sont en fait des modules d'homologie absolue. De maniere precise: a une A-algebre B et a une B-algebre C correspond une suite exacte, dite de Jacobi- Zariski (theoreme 5. 1) . . . --+ Hn(A,B, W) --+ Hn(A, C, W) --+ Hn(B, C, W) -+ H _ I (A, B, W) --+ **** n De cette suite decoulent des relations entre differentielles de Kaehler (n = 0), algebres lisses (n = 1), anneaux reguliers (n = 2) et intersections completes (n = 3). Une autre propriete fondamentale est la suivante (proposition 4.

Over the past 25 years, Carleman estimates have become an essential tool in several areas related to partial differential equations such as control theory, inverse problems, or fluid mechanics. This book provides a detailed exposition of the basic techniques of Carleman Inequalities, driven by applications to various questions of unique continuation.Beginning with an elementary introduction to the topic, including examples accessible to readers without prior knowledge of advanced mathematics, the book's first five chapters contain a thorough exposition of the most classical results, such as Calderón's and Hörmander's theorems. Later chapters explore a selection of results of the last four decades around the themes of continuation for elliptic equations, with the Jerison-Kenig estimates for strong unique continuation, counterexamples to Cauchy uniqueness of Cohen and Alinhac & Baouendi, operators with partially analytic coefficients with intermediate results between Holmgren's and Hörmander's uniqueness theorems, Wolff's modification of Carleman's method, conditional pseudo-convexity, and more.With examples and special cases motivating the general theory, as well as appendices on mathematical background, this monograph provides an accessible, self-contained basic reference on the subject, including a selection of the developments of the past thirty years in unique continuation.

It is a textbook for students, as well as a reference book for the working mathematician, on cohomological topics in number theory. New material is introduced here on duality theorems for unramified and tamely ramified extensions as well as a careful analysis of 2-extensions of real number fields.

Poisson structures appear in a large variety of contexts, ranging from string theory, classical/quantum mechanics and differential geometry to abstract algebra, algebraic geometry and representation theory.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

die Matrizen, die zu Transpositionen gehoren, nicht nur (wie bei der naturlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin- schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen fast immer gebraucht wird (IV 5 und 6). In VIII 5 ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz uber die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden war. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag und der Druckerei fur das bereitwillige Eingehen auf alle meine Wunsche und ebenso den Herren Dr. A. KERBER und H. PAHLINGS, die mich bei der Redaktion dieser Auf- lage mit Rat und Tat unterstutzt haben. H. BoERNER Gieen, im August 1967 Vorwort zur ersten Auflage Die Darstellungstheorie der Gruppen ist eines der reizvollsten Bei- spiele fur die Wechselwirkung zwischen Physik und reiner Mathematik. Wenige lahre vor der lahrhundertwende fuhrte der Algebraiker G. FROBENIUS die Gruppencharaktere und den Begriff der Darstellungen ein; ein Jahrzehnt lang enthielt nun fast jeder Band der Berliner Sitzungs- berichte eine oder mehrere der schonen Arbeiten von FROBENIUS und 1. SCHUR uber diesen Gegenstand. Unterdessen hatte mit dem neuen Jahrhundert in demselben Berlin die Quantentheorie das Licht der Welt erblickt - aber niemand ahnte, da ein Vierteljahrhundert spater beide Theorien in so innige Wechselwirkung treten wurden. Das geschah in Gottingen, nachdem dort in enger raumlicher und geistiger Nachbar- schaft zu dem Algebraikerkreis um EMMY NOETHER die Born-Heisenberg- sehe Quantenmechanik entstanden war.

Die Verbandstheorie ist in neuerer Zeit in den Vordergrund des mathematischen Interesses getreten, weil sie ebenso wie die Gruppen- theorie im Prinzip sehr einfache Zusammenhange betrachtet und so (fast noch mehr als die Gruppentheorie) in den verschiedensten Ge- bieten der Mathematik Anwendung findet. Es handelt sich um die Untersuchung von Strukturen, die allgemeiner sind als geordnete Mengen, die aber mit den geordneten Mengen gemeinsam haben, da es zu je zwei Elementen immer ein kleinstes beide umfassendes und ein grotes in beiden enthaltenes Element gibt. Das vorliegende Buch will eine Einfuhrung in die Verbandstheorie und ihre Anwendungen geben. Die Beweise werden ziemlich ausfuhr- lich dargestellt. An den meist leichten Ubungsaufgaben am Ende des Paragraphen kann der Leser kontrollieren, wie weit er den Text ver- standen hat. Die Beispiele sind aus den Grundlagen der Geometrie, der Algebra und der Topologie gewahlt und setzen damit eine gewisse mathematische Allgemeinbildung voraus. In einem Anhang werden die wichtigsten logischen und mengen- theoretischen Begriffe zusammengestellt. Insbesondere werden Symbole fur die einfachsten logischen Verknupfungen eingefuhrt. Ich habe mich nicht gescheut, diese Symbole auch ab und zu im Text zu verwenden, da so in vielen Fallen die logische Struktur einer Aussage deutlicher hervortritt, und da man insbesondere oft mit Aquivalenzen ebenso bequem rechnen kann, wie es der Mathematiker schon immer mit Gleichungen zu tun gewohnt ist. Es kommt hinzu, da in wichtigen Verbanden die verbandstheoretischen Operationen unmittelbar mit aussagenlogischen Verknupfungen zusammenhangen.

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen uber die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknupfend an fruhere Ansatze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefate und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung fur die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere ublichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel mochte ich hervorheben, da die zeit- weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GODEL folge die Undurchfuhrbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtum- lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, da man fur die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand- punkt in einer scharferen Weise ausnutzen mu, als dieses bei der Be- trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Gottingen, im Marz 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro- bleme erwachsen ist, wurde schon seit langerem von HILBERT ange- kundigt.

Der vorliegende Band schliet die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes uber- nommen. Ich danke ihm fur die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs starkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe ware die Vollendung dieses Buches unmoglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich fur ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Gottingen, im Marz 1939 HILBERT Zur Einfuhrung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung uber den gegenwartigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn- gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an pragnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Fur die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsachlichen, an das e-Symbol sich knupfenden beweistheoretischen Ansatze HILBERTS und ihre Durchfuhrung zur ein- gehenden Darstellung zu bringen.

Die Entwicklung, in welcher sich die Theorie der reellen Funktionen seit einiger Zeit befindet, betrifft vor allem die allgemeinen Begriffe. Besonders die Idee der Ordnung mit allen ihren Spielarten, wie sie etwa in den Strukturen des Filters, des Verbandes, des Somenringes und der Ortsfunktionen gepragt worden ist, fuhrte in steigendem Mae zu einer Umgestaltung aller Teile der Theorie. Diese Entwicklung kann noch nicht als abgeschlossen angesehen werden; trotzdem wurde versucht, sie in diesem Buch zu berucksichtigen, zu dem Ausma allerdings, wie es mir ursprunglich vorschwebte, ist es nicht gekommen. Verspatet erst wurde mir die einschlagige Literatur zuganglich, und auerdem ergab es sich, da der klassische Tatsachenbestand, der trotz aller neuen Be- griffsbildungen immer noch den eigentlichen Schatz der Theorie aus- macht, letzthin nicht vernachlassigt werden durfte. Da auf den fol- genden 400 Seiten keine erschopfende Behandlung des Gesamtgebietes moglich war, ist bei der Weite desselben nicht verwunderlich. So fehlt insbesondere eine eingehende Behandlung der Theorien der Differen- tiation der additiven Mengenfunktionen, der Oberflachenintegrale, des DENJoyschen Integrals, der CARATHEODoRYschen Ortsfunktionen und der SCHWARTzschen Distributionen; das Literaturverzeichnis am Ende des Buches mag ein kleiner Luckenbuer dafur sein. Wegen der hier behandelten Gegenstande selbst aber verweise ich auf den nachfolgenden "e;Uberblick"e;.

Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Analysis, der auf viele der bedeutendsten Mathematiker und Naturforscher anziehend und anregend gewirkt hat. Der Antrieb, dieses Buch zu schreiben, ging vor allem an- deren von dem Bestreben aus, den Studierenden und all denen, die bei ihren wissenschaftlichen Arbeiten Methoden der Variationsrechnung be- notigen, eine Vorstellung davon zu vermitteln. Sicher ist es wunschens- wert, da die reinen Mathematiker die Anregungen, die die Anwen- dungen zur Ausbildung dieser Disziplin geboten haben und bieten, ken- nenlernen, und zwar in einer Weise, die nicht allzu groe Opfer an Zeit verlangt. Dagegen sucht der augewandte Mathematiker, der Physiker und der Techniker in erster Linie Methoden, die es ihm ermoglichen, praktische Probleme zu losen und, was vielleicht von noch groerer Bedeutung ist, es gewahrt ihm eine innere Befriedigung, grundlegende Satze und allgemeine Prinzipe in moglichst durchsichtiger Form erlautert zu finden. Bei der Abfassung dieses Buches schien mir auch folgende Uberlegung beachtenswert: Wohl hat oft ein Physiker oder Techniker von vornherein eine gewisse Scheu, kritischen Betrach- tungen, wie sie nun einmal vom rein mathematischen Standpunkt aus notig sind, zu folgen. Aber es hat sich schon oft gezeigt, da gerade solche kritische Betrachtungen mit den Bedurfnissen dieser Gruppe von Lesern in engerem Zusammenhang stehen, als es auf den ersten Blick hin erscheinen mag. Als meine Hauptaufgabe sah ich es an, hier eine passende Art der Darstellung zu finden, die sich an beide Gruppen von Lesern wendet.