Bücher der Reihe Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein relativ junges Teilgebiet der Mathematik, das eigentlich erst in den letzten Jahrzehnten durch die Verwendung maBtheoretischer Begriffsbildungen eine befriedigende For- mulierung gefunden hat. So darf man den Beginn der modernen Wahr- scheinlichkeitsrechnung wohl urn die Zeit des 1933 erschienenen Heftes "e;Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung"e; von A. KOLMOGOROFF in der Reihe "e;Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete"e; an- setzen. Seitdemhat man nicht nur gelernt, die verschiedenen klassischen Ergebnisse von einem einheitlichen Gesichtspunkt aus zu verstehen; sondern viele Probleme konnten uberhaupt erst durch die Verwendung der maBtheoretischen Hilfsmittel in der erforderlichen Allgemeinheit formuliert und behandelt werden. Ich denke hier vor allem an die Theorie der stochastischen Prozesse, an die Spieltheorie und an die Theorie der statistischen Entscheidungsverfahren. Die im deutsch- sprachigen Schrifttum vorliegenden Lehrbucher der Wahrscheinlich- keitsrechnung sind, abgesehen von einigen kleineren Einfiihrungen in die klassische Theorie, vor dem Beginn der neuen Entwicklung verfaBt worden. Sie k6nnen daher den heutigen Anspruchen nicht mehr ge- nugen. Den Studenten und auch den Dozenten ist es damit sehr schwer gemacht, den Vorsprung wieder einzuholen, den die auslandische Wissen- schaft in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in ihren Anwendungs- gebieten gerade in den entscheidenden Jahren nach 1933 gewonnen hat. Hier liegt also eine Lucke vor, die ich versuchen will, durch dieses Lehr- buch etwas auszufullen. Ohne die klassische Theorie zu sehr zu ver- nachlassigen, m6chte ich den Leser soweit in die heutige Wahrschein- lichkeitstheorie einfuhren, daB er in der Lage ist, auch schwierigere Untersuchungen zu studieren.

Initially the theory of convergence in law of stochastic processes was developed quite independently from the theory of martingales, semimartingales and stochastic integrals. Apart from a few exceptions essentially concerning diffusion processes, it is only recently that the relation between the two theories has been thoroughly studied. The authors of this Grundlehren volume, two of the international leaders in the field, propose a systematic exposition of convergence in law for stochastic processes, from the point of view of semimartingale theory, with emphasis on results that are useful for mathematical theory and mathematical statistics. This leads them to develop in detail some particularly useful parts of the general theory of stochastic processes, such as martingale problems, and absolute continuity or contiguity results. The book contains an elementary introduction to the main topics: theory of martingales and stochastic integrales, Skorokhod topology, etc., as well as a large number of results which have never appeared in book form, and some entirely new results. It should be useful to the professional probabilist or mathematical statistician, and of interest also to graduate students.

This book explores the theory of abelian varieties over the field of complex numbers, explaining both classic and recent results in modern language. The second edition adds five chapters on recent results including automorphisms and vector bundles on abelian varieties, algebraic cycles and the Hodge conjecture. "e;. . . far more readable than most . . . it is also much more complete."e; Olivier Debarre in Mathematical Reviews, 1994.

From the reviews: "e;This is a magnificent book! Its purpose is to describe in considerable detail a variety of techniques used by probabilists in the investigation of problems concerning Brownian motion. The great strength of Revuz and Yor is the enormous variety of calculations carried out both in the main text and also (by implication) in the exercises. ... This is THE book for a capable graduate student starting out on research in probability: the effect of working through it is as if the authors are sitting beside one, enthusiastically explaining the theory, presenting further developments as exercises, and throwing out challenging remarks about areas awaiting further research..."e;Bull.L.M.S. 24, 4 (1992) Since the first edition in 1991, an impressive variety of advances has been made in relation to the material of this book, and these are reflected in the successive editions.

In recent years there has been enormous activity in the theory of algebraic curves. Many long-standing problems have been solved using the general techniques developed in algebraic geometry during the 1950's and 1960's. Additionally, unexpected and deep connections between algebraic curves and differential equations have been uncovered, and these in turn shed light on other classical problems in curve theory. It seems fair to say that the theory of algebraic curves looks completely different now from how it appeared 15 years ago; in particular, our current state of knowledge repre- sents a significant advance beyond the legacy left by the classical geometers such as Noether, Castelnuovo, Enriques, and Severi. These books give a presentation of one of the central areas of this recent activity; namely, the study of linear series on both a fixed curve (Volume I) and on a variable curve (Volume II). Our goal is to give a comprehensive and self-contained account of the extrinsic geometry of algebraic curves, which in our opinion constitutes the main geometric core of the recent advances in curve theory. Along the way we shall, of course, discuss appli- cations of the theory of linear series to a number of classical topics (e.g., the geometry of the Riemann theta divisor) as well as to some of the current research (e.g., the Kodaira dimension of the moduli space of curves).

We now apply the algorithm above to find the 121 orbits of norm -2 vectors from the (known) nann 0 vectors, and then apply it again to find the 665 orbits of nann -4 vectors from the vectors of nann 0 and -2. The neighbors of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice can be found as follows. If a norm -4 vector v E II . corresponds to the sum 25 1 of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice A and a !-dimensional lattice, then there are exactly two nonn-0 vectors of ll25,1 having inner product -2 with v, and these nann 0 vectors correspond to the two even neighbors of A. The enumeration of the odd 24-dimensional lattices. Figure 17.1 shows the neighborhood graph for the Niemeier lattices, which has a node for each Niemeier lattice. If A and B are neighboring Niemeier lattices, there are three integral lattices containing A n B, namely A, B, and an odd unimodular lattice C (cf. [Kne4]). An edge is drawn between nodes A and B in Fig. 17.1 for each strictly 24-dimensional unimodular lattice arising in this way. Thus there is a one-to-one correspondence between the strictly 24-dimensional odd unimodular lattices and the edges of our neighborhood graph. The 156 lattices are shown in Table 17 .I. Figure I 7. I also shows the corresponding graphs for dimensions 8 and 16.

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die man heute grotenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi- simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singularen Homologietheorie gepragt. Seine Nutzlichkeit fur die alge- braische Topologie, und zwar nicht nur fur die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so "e;algebraisch"e;, da man direkt Homologie-und Homotopiegruppen fur sie definieren und allgemeine Zusammenhange zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstuck. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschrankt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo- logischen Raume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen uber- fuhrt. "e;Semisimpliziale algebraische Topologie"e; bedeutet am Beispiel der singularen Homologietheorie : Man ordnet dem Raum X seine semi- simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singulare Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singularen Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.

am Ende des Buches erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit, durfte jedoch ausfuhrlich genug sein, um ein selbstandiges Weiterarbeiten zu ermoglichen. Der erste Ansto zur Beschaftigung mit dem Gegenstand dieses Buches ging von meinem Lehrer 0. TOEPLITZ aus. Die von uns gemein- sam entwickelte Theorie der vollkommenen Raume habe ich in 30 dieses Buches darzustellen versucht. Dem wiederholten personlichen Kontakt mit den franzosischen Kollegen J. DIEUDONNE, A. GROTHEN- DIECK und L. ScHWARTZ nach dem Kriege verdanke ich die genaue Kenntnis der von ihnen entwickelten Theorie, die den Hauptgegenstand dieses Buches bildet. Die vorliegende Darstellung stutzt sich vielfach auf die beiden Bande von BoURBAKI (BouRBAKI [6] des Literaturver- zeichnisses) und die Vorlesung von GROTHENDIECK [11]. Zu besonderem Dank bin ich Herrn W. NEUMERund Herrn H. G. TILLMANN verpflichtet, die die erste Halfte bzw. das ganze Manuskript sorgfaltig und kritisch durchgesehen haben. Wichtige Anregungen und Bemerkungen stammen von den Herren M. LANDSBERG, H. ScHAEFER und J. WLOKA. Schlielich danke ich dem Verlag fur die rasche und vorzugliche Drucklegung. Heidelberg, im August 1960. G. KoTHE Vorwort zur zweiten Auflage Die zweite Auflage enthalt eine Reihe von Korrekturen, auf deren Notwendigkeit mich freundliche Leser aufmerksam machten, und Hin- weise auf neuere Literatur, in der einige der in der ersten Auflage noch offenen Probleme inzwischen ihre Losung fanden. Davon abgesehen blieb der Text unverandert. Frankfurt, im Oktober 1965 G. KoTHE Inhaltsverzeichnis Erstes Kapitel: Grundbegriffe der allgemeinen Topologie Seite 1. Der topalogische Raum . . . . . . . .

Anschauliche Geometrie - wohl selten ist ein Mathematikbuch seinem Titel so gerecht geworden wie dieses auergewohnliche Werk von Hilbert und Cohn-Vossen. Zuerst 1932 erschienen, hat das Buch nichts von seiner Frische und Kraft verloren. Hilbert hat sein erklartes Ziel, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, bei Generationen von Mathematikern erreicht.Aus Hilberts Vorwort: "e;Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen"e;.