Bücher der Reihe Hochschultext

Translation of Elements de logique mathematique.

Mit dem vorliegenden Buch haben wir den Versuch unternommen, eine an­ wendungsorientierte Darstellung der Theorie des Linearen Modells zu geben, die daraufhin konzipiert ist, zwei unterschiedliche Leserkreise anzusprechen. Es sollte sowohl fUr Mathematiker und Statistiker mehr theoretischer Herkunft als auch fUr Anwender der Regressions- und Varianzanalyse (Biologen, ~konometriker, Agronomen, Psychologen, So­ ziologen, Techniker u.a.) von Interesse sein. Mathematiker mit einem Ausbildungsschwerpunkt auf dem Gebiet der Sto­ chastik kBnnen sich anhand dieses Textes einen Oberblick Uber eine in der angewandten Statistik Uberaus wichtigen Klasse statistischer Ver­ fahren verschaffen. Neben der Darstellung der allgemeinen Theorie werden vor allem im zweiten und dritten Kapitel auch Fragen der Mo­ dellspezifikation und der Versuchsplanung angeschnitten, welche in einem rein theoretischen Lehrbuch wohl kaum in diesem Umfang behan­ delbar sind. Andererseits wird der groBen Zahl von Anwendern der Methoden der Re­ gressions- und Varianzanalyse die MBglichkeit gegeben, sich einen Einblick in die mathematisch-theoretische Fundierung dieser Verfahren zu verschaffen. Da heutzutage jedes wissenschaftliche Rechenzentrum Programme fUr eine Vielzahl von Standardverfahren aus diesem Gebiet bereith~lt, werden solche Methoden in der Datenanalyse z.T. routine­ m~Big angewandt. H~ufig stellt sich jedoch heraus, daB ohne Oberblick tiber die zugrundeliegende Theorie weder ein innovativer Einsatz der bereitgestellten Verfahren noch eine einwandfreie und die Analyse­ mBglichkeiten ausschBpfende Interpretation der Resultate erreicht werden kann.

Die Theorie der konvexen Mengen stellt insofern eine besonders reizvolle mathe­ matische Disziplin dar, als es in ihrem Rahmen moglich ist, aus wenigen, anschau­ lich unmittelbar einsichtigen Voraussetzungen geometrisch wie analytisch in glei­ cher Weise wichtige SchluBfolgerungen herzuleiten. Es erscheint daher nicht ver­ wunderlich, daB es dem interessierten Laien hierbei schneller als bei anderen mathe­ matischen Gebieten gelingen diirfte, sich einzuarbeiten und zu den Gegenstanden aktueller Forschung vorzustoBen. Eine Hilfestellung hierzu zu geben ist das Ziel dieses Buches. Es will kein neuer Ergebnisbericht im Stil des klassischen Werkes von BONNESEN-FENCHEL [3], sondern eine Einfiihrung in die Theorie der konvexen Untermengen eines affinen bzw. euklidischen Raumes sein. Urn diesem Anspruch gerecht zu werden, wurde besonderer Wert darauf gelegt, die behandelten Gegenstande so ausfiihrlich und vollstandig wie moglich darzustellen. Dies hatte bei dem begrenzten Umfang des Buches natiirlich eine zugegebener­ maBen subjektive Stoffauswahl zur Folge, in welcher die Inhaltslehre und die Symmetrisierung konvexer Mengen eine bevorzugte Rolle spielen. Die diesbeziig­ lichen Uberlegungen gipfeln im Nachweis der Giiltigkeit der verallgemeinerten Ungleichungen von BRUNN-MINKOWSKI nebst Gleichheitsdiskussion. Dagegen wurde auf eine eingehendere Behandlung der Theorie der konvexen Polytope verzichtet; diese findet sich in den Lehrbiichern von B. GRUNBAUM [7] und McMuL­ LEN -SHEPHARD [1]. Weiter blie ben funktionalanalytische Verallgemeinerungen auBer Betracht; in diesem Zusammenhang sei der Leser auf das Buch von F. VALEN­ TINE [2] verwiesen. Auch auf Fragen iiber konvexe Korper mit Gitterpunkten, die in letzter Zeit durch Arbeiten von H. HADWIGER und J.

Untersuchung der Ortskurven sowie algebraische Stabilitatstests aufge­ nommen. Sehr ausfUhrlich werden dann Einschwingvorgange behandelt, wobei auch die Beschreibung der Netzwerke mit Zustandsgleichungen sowie deren Losung berUcksichtigt wurde. Die Untersuchung des Zeitverhaltens mit Hilfe der Laplace-Transformation wird ebenfalls eingehend dargestellt. 1m Anhang finden sich neben den bereits genannten Angaben zu physikali­ schen Phanomenen Abschnitte mit kurzen Erklarungen zu verwendeten ma­ thematischen Grundlagen. Der Band ist als Lehrbuch gedacht. Einem induktiven Vorgehen in der Be­ handlung des Stoffes wurde der Vorzug gegeben. Dementsprechend enthalt das Buch eine Vielzahl von Beispielen, bei deren Auswahl versucht wurde, weitgehend Schaltungen zu untersuchen, die auch eine praktische Bedeu­ tung haben. Zahlreiche MeBergebnisse werden dazu in Form von Oszillo­ grammen zur Illustration gebracht. Bei der Vorbereitung der Beispiele sowie beim Lesen der Korrektur haben mir Mitarbeiter des Lehrstuhls fUr Nachrichtentechnik geholfen, von de­ nen ich besonders die Herren Dr. Heute, Dr. Steffen und Dipl.-Ing. Weith nennen mochte. Die Reinschrift des Textes, die Anfertigung der zahlrei­ chen Zeichnungen und die photographischen Arbeiten haben Fraulein Schuster, Frau Felske und Frau WeiB Ubernommen. Ihnen allen gilt mein Dank. Ebenso mochte ich dem Springer-Verlag fUr die gute Zusammenarbeit danken.

UEbersetzt aus dem Polnischen von Pallaschke, Diethard

Der vorliegende Hochschultext entstand aus Vorlesungen tiber Wahr­ scheinlichkeitstheorie an der Ruhr-Universitat Bochurn. GegenUber dem unter dem Titel "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie" im Bochurner Studienverlag Brockmeyer 1975 erschienenen Vorlesungsskrip­ tum ist die jetzige Fassung methodisch liberarbeitet und fast urn das Doppelte erweitert worden. In dem Bemlihen, dem jeweiligen Kenntnisstand der Studenten entgegen­ zukommen, wurden die Vorlesungen mit unterschiedlich gesetzten Schwer­ punk ten abgehalten. Auf diese Weise entstanden im Laufe der Zeit verschiedene Manuskripte, bei deren Abfassung sich der erste Autor auf Vorlesungen seiner verehrten Lehrer K. Krickeberg (Paris) und J. Pfanzagl (Keln) stlitzen konnte, was insbesondere im flinften Kapitel zum Ausdruck kommt. Die Abfassung von Abschnitt 3.1 sowie die sonstigen mehr maBtheoretischen Teile im achten Kapitel wurden wesentlich durch Diskussionen mit F. Tops~e (Kopenhagen) beeinfluBt. Kapitel I wurde gepr~gt durch Vorlesungsskripten zur MaBtheorie unseres frliheren Bochumer Kollegen und Lehrers H.G. Kellerer (Mlinchen). Den Herren Dr. W. Adamski, Dipl.-Math. W. Hummitzsch und Dipl.-Math. J. Strobel sind wir zu groBem Dank verpflichtet. Sie haben wertvolle Anregungen beigesteuert und uns beim Lesen der Korrekturen untcr­ stiitzt. Herr Hummitzsch hat auBcrdem den Zcichenindex und das Namen­ und Sachregister angefertigt. Als besonders erfreulich empfanden wir stets die Impulse, die von studentischer Seite kamen und uns halfen, Fehler zu entdecken und frlihere Entwlirfe methodisch zu verbessern.

Das vorliegende Buch entstand aus der ausgearbeiteten Mitschrift der Vorlesung "Stabilitätstheorie", die Herr Prof. Parks im Winter­ semester 1979/80 als Gastprofessor an der Ruhr-Universität in Bochum hielt. Diese Vorlesung wandte sich an Studenten der Regelungstechnik, die über Grundkenntnisse der mathematischen Beschreibung dynamischer Vorgänge mittels Differentialgleichungen verfügten. Obwohl die Sta­ bilität dynamischer Systeme vom technischen Standpunkt aus darge­ stellt wird, ist das Buch auch für den Leser von Interesse, der mit dynamischen Prozessen im nichttechnischen Bereich, z. B. der Biokyber­ netik, der Meteorologie, usw. zu tun hat. Das Buch erfordert - abge­ sehen von dem Verständnis zur Beschreibung dynamischer Vorgäng- keine besonderen Vorkenntnisse vom Leser und ist als Einführung in das Gebiet gut geeignet. Andererseits wird ein Uberblick über sehr viele Methoden der Stabilitätsprüfung gegeben, so daß es für den­ jenigen, der sich schnell über eine Methode informieren will, durch­ aus als "Nachschlagewerk" verwendbar ist. Besonderer Wert wurde da­ rauf gelegt, nicht nur die Anwendung der einzelnen Methoden, sondern auch ihre Ableitung und ihre Zusammenhänge dazustellen. Insofern ist das Buch eine sinnvolle Ergänzung der bisherigen Lehrbuchliteratur auf dem Gebiet der Stabilität dynamischer Systeme. Ich wünsche dem vorliegenden Buch, daß es vor allem auch in der Praxis Interesse findet und Anlaß zur weiteren Anwendung der vor­ geschlagenen Verfahren wird. Professor Dr. -Ing. H. Unbehauen Lehrstuhl für Elektrische Steuerung und Regelung Ruhr-Universität Bochum Bochum, im Sommer 1981 Inhaltsverzeichnis 0. Einführung ¿. . . . . . ¿. . . . . . . . . . . . . . . ¿¿. . ¿¿. ¿. ¿¿. . ¿. . . ¿. . . . . .1. Stabilitätstheorie linearer Systeme . . . . . . . ¿. ¿. . . . . . . . . . . .

Dieses Buch behandelt die Frage, ob die funktional geforderte Gestalt eines Bauteils mit den denkbaren Technologien hergestellt werden kann und welche Verfahren sich im einzelnen anbieten, wobei auch wirtschaftliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden. Unter Gestaltbildung wird hier der Konstruktionsvorgang verstanden, der während des gesamten konstruktiven Entwicklungsprozesses die spätere Gestalt eines Produktes - eine Einheit aus Geometrie- und Stoffparametern - bestimmt. Funktionale und technologische Gestaltbildung stehen in enger Wechselwirkung zueinander. Daraus resultiert, daß sich dieses Buch eng an den früher erschienenen "Hochschultext" über Funktionale Gestaltbildung anschließt. Mit den jetzt neu eingeführten Begriffen Technologieprinzip und Technologiefläche läßt sich die technologische Parametervielfalt in ihrem Einfluß auf das Fertigungsergebnis besonders anschaulich darstellen.

In der Anfängervorlesung "Lineare Algebra" lernt der Student ein umfang­ reiches System von Begriffen und Ergebnissen kennen. Auf die Bedeutung dieser Theorie für die ganz"e t1athematik wird er zwar oft hingewiesen, aber vorgeführt werden meist nur Anwendungen aus der Geometrie. Das vorliegende kleine Heft ist äer Versuch, ein anderes Gebiet für die Motivierung der Anfängervorlesung zu erschließen, nämlich die Theorie der stochastischen Prozesse mit endl~ch vielen Zuständen in matrizen­ theoretischer Behandlung. Unsere Darstellung steht zwischen den sehr elementar gehaltenen Büchern (mitunter mit dem Titel "Finite Mathema­ tics"), die zum Teil für Nichtmathematiker geschrieben sind und nur Elemente der Linearen Algebra verwenden, und den allgemeinen Theorien der stochastischen Prozesse, welche dem endlichen Spezialfall oft wenig Raum widmen. Sie stützt sich weitgehend auf die Betrachtung der Eigen­ werte von stochastischen Matrizen. Obwohl die Bestimmung der Eigenwerte nicht direkt ein Teil des Problems ist, scheint uns das Studium der Eigenwerte den besten Aufschluß über das Verhalten der Potenzen einer stochastischen Matrix zu geben. (Wir sind uns dessen bewußt, daß diese Methode freilich für stochastische Prozesse mit unendlich vielen Zustän­ den völlig versagt. ) Nach der Erörterung der Problemstellung und einigen Beispielen in § 1 werden in § 2 alle später benötigten Aussagen über die Eigenwerte von stochastischen Matrizen hergeleitet. Darauf folgen dann in § 3 leicht die Konvergenzsätze. In § 4 behandeln wir weitere Sätze über die Eigen­ werte von stochastischen Matrizen, die jedoch später kaum mehr verwen­ det werden.