Bücher der Reihe Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik - Teubner Studienbücher

4 Die aus der Linearen Algebra benötigten Grundlagen sind noch einmal in Kapitel 2 dieses Buches zusammengestellt. Damit soll zum einen eine geschlossene Darstellung ermöglicht werden, zum anderen ist es notwendig, die aus der Linearen Algebra bekannten Sätze in die hier benötigte Formulierung zu bringen. Vom Umfang her eignet sich eine Auswahl des vorliegenden Stoffes fUr eine 4-stündige Vorlesung nach dem Vordiplom. Eine Teilauswahl ist auch für die Vorlesung «Numerische MathematikII» empfehlenswert. Die aufgeführten Übungsaufgaben, die auch als Bemerkungen ohne Beweis verstanden werden können, sind in die Darstellung integriert. Wird dieses Buch als Grundlage einer Vorlesung benutzt, können sie als Übungen dienen. Aber auch der Leser sollte versuchen, sein Verständnis der Lektüre an den Aufgaben zu testen. Die Diskussion der Verfahren ist durch zahlreiche numerische Bei­ spiele zumeist anhand des Poisson-Modellproblems illustriert. Damit der interessierte Leser die Verfahren mit anderen Parametern, Schritt­ weiten etc. testen kann, sind die Verfahren auch explizit als Pascal­ Programme angegeben. Die Sammlung der Quelltexte ist als Diskette erhältlich (siehe [Prog1 im Literaturverzeichnis und Bestellformular auf den Seiten 38112). Diese Programmsammlung könnte auch unabhängig vom Buch zur Unterstützung von Vorlesungen oder Seminaren mit numerischen Beispielen herangezogen werden. Der Autor dankt seinen Mitarbeitern, insbesondere Herrn J. Bur­ meister für Literaturrecherchen und die Unterstützung beim Lesen und Korrigieren des Manuskriptes. Diskussionen mit den Kollegen Niethammer, Maeß, Dry ja, Wittum, u.a. verdanke ich viele Anregungen und Literaturhinweise. Dem Teubner-Verlag gilt der Dank für die stets freundliche Zusammenarbeit.

Dieses Buch (es ist aus Vorlesungen und Vortragen entstanden, die die Verfasser an der ETH, Zurich, an der Universitat Texas in Austin und anderswo gehalten haben) mochte eine Einfuhrung in die Mittelwertmethode bei gewohnlichen Differentialgleichungssystemen geben, die auch neueren Ent- wicklungen Rechnung tragt. Diese Methode hat sich in Theorie und Anwen- dung als so fruchtbar erwiesen, da es gerechtfertigt erscheint, ihr auch ein Buch in der LAMM-Reihe zu widmen. Es gliedert sich wie folgt: Formale Untersuchungen (erstes und drittes Kapitel), Anwendungen (zweites Kapitel), mathematische Begrundung der Methode (viertes Kapitel). Das Buch besitzt folgende Merkmale, auf die hingewiesen sei: (i) Wir ent- wickeln die Mittelwertmethode konsequent auf der Grundlage der Lieschen Reihen und befassen uns ausfuhrlich mit den Implikationen dieses Grundkon- zepts. (ii) Wir versuchen, anwendungsnahe Beispiele vorzufuhren, insbe- sondere werden auch hoherdimensionale Probleme behandelt. Wann immer moglich leiten wir die zu Grunde liegenden Differentialgleichungen her oder interpretieren sie zumindest. (iii) Obwohl wir uns mit diesem Buch an anwendungsorientierte Mathematiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler richten, haben wir es fur richtig gehalten, im theoretischen Teil des Buches auch tieftiegende Resultate herzuleiten. Wir haben uns jedoch um einfache und durchsichtige Beweise bemuht, die wir ausfuhrlich darlegen. Auch in den theoretischen Teilen wird immer wieder die Brucke zu den Anwendungen geschlagen. An Vorkenntnissen setzt das Buch die ublichen Vorlesungen uber Analysis und Lineare Algebra voraus, wie sie in den ersten vier Semestern an Hochschulen geboten werden.

Die turbulente Flussigkeitsbewegung stellt schlechthin das ungeloste Problem der Stromungslehre dar. Dabei handelt es sich hier um eine auerst verbreitete Erschei- nung, die die gesamte praktische Stromungsmechanik geradezu beherrscht. In be- merkenswertem Kontrast hierzu steht die Feststellung, da viele der Physiker und Ingenieure, die als hervorragende und keineswegs einseitige Experten der Stromungs- lehre gelten, relativ wenig mit der Materie der turbulenten Stromungen vertraut sind. Ferner ist festzustellen, da eine unubersehbare Fulle von Einzelveroffentlichungen existiert und da laufend weitere Forschungsarbeiten zur Turbulenz erscheinen, da es aber nur wenige Buchveroffentlichungen gibt, die als Lehrbuch geeignet sind. Im Vergleich zu den auf anderen Teilgebieten der Stromungslehre vorhandenen Buchern ist der Prozentsatz an Buchern uber Turbulenz verschwindend gering. Ein deutsch- sprachiges Buch, das die in den vergangenen drei Jahrzehnten erzielten Fortschritte der Turbulenz-Forschung angemessen behandelt, ist nicht verfugbar. Diese Sachlage mag den Versuch rechtfertigen, die bestehende Lucke zu schlieen. Der Band soll eine Einfuhrung in die Theorie vermitteln mit dem Ziel, die wesent- lichen Tatsachen der turbulenten Stromungen dem Verstandnis des Lesers nahezu- bringen und ihn mit den Anwendungsmaglichkeiten der theoretischen Methoden vertraut zu machen. Der vorgegebene Umfang erforderte eine strenge Eingrenzung des Stoffes. Es werden nur sogenannte "e;ausgebildete turbulente"e; Stromungen behandelt. Auf die Stabilitat der laminaren Stromungen und die Entstehung der Turbulenz wird nicht eingegangen.

Die Schalentheorie hat bereits eine hundertjährige Entwicklung hinter sich. Die Zeit (1888), als die grundlegende Arbeit der Schalentheorie [91] vom Autor als" ... eigentlich ein Versuch, die Vibration der Kirchenglocken zu untersuchen" verstanden wurde, ist längst vorbei. Die Theorie wurde zur Grundlage für die Analyse und Berechnung unzähli­ ger Konstruktionen im Maschinen-, Flugzeug- und Schiffbau sowie bei Flächentragwerken des Bauingenieurwesens. Dieser praktische Wert der Schalentheorie sicherte ihr einen Eh­ renplatz als wichtigen anwendungsbezogenen Teil der Theorie elastischer Körper. Das Interesse an der Schalentheorie läßt nicht nach. Die letzten drei Jahrzehnte brachten einen neuen maßgebenden Umstand - die Computertechnik. Beim Lösen der meisten praktischen Probleme von Flächentragwerken ist der Computer unentbehrlich geworden. Universale Programme, die meist auf die Verfahren der finiten Elemente oder der finiten Differenzen aufgebaut sind, stehen zur Verfügung. Neben der schon kaum übersehbaren Zeitschriftenliteratur gibt es zahlreiche Lehrbücher und Monographien über die Schalentheorie. Das Spektrum der Bücher ist breit gefächert. Es ist reich an Aufbauprinzipien, Auswahl der erfaßten Probleme und besonders im Um­ fang sowie in der Darstellungsweise der Grundlagen der Theorie. Aber es besteht auch eine Lücke im "Parameterraum" der Bücher. Es wird fast ausschließlich die lineare Theorie behandelt. Werden auch endliche Verformungen erfaßt, so bleiben sie auf eine "mittlere Größenklasse" beschränkt. (Einen Sonderfall bildet das Buch [99].) In den meisten Büchern wird nur der Membranspannungszustand ausführlich untersucht. Das volle Bild - einschließlich der Biegespannungen - wird öfters als zweitrangig angesehen und analy­siert.

Der behandelte Stoff gliedert sich in fünf Teile: Mechanische Meßmethoden - Elektromechanische Wandler und Messung von Schwankungsgrößen - Optische Meßmethoden - Methoden der Strömungssichtbarmachung - Versuchsanlagen für Modelluntersuchungen

1.1 Integralgleichungen Eine spezielle Integralgleichung ist aus der Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen wohlbekannt. Das Anfangswertproblem (1.1.1} y'(x)=f(x,y) fürx;:,x , 0 wird durch Integration von x bis x in die Form 0 X (1.1.2} y(x)=yo + 1 f(~.y(~JJd; 0 gebracht, da die Integraldarstellung (2} für den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Differentialgleichung (1} besser geeignet ist. Allgemein ist eine Integralgleichung eine Gleichung für eine unbekannte Funktion {, wobei f u.a. im Integranden eines Integrals auftritt. Die Integralgleichungen werden weiterhin nach Merkmalen unterschieden, die im folgenden verbal charakterisiert werden. Fredholmsche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich über ein 1 festes Intervall des R oder einen allgemeineren festen Integrationsbereich (Teilmenge des Rd, Kurve, Oberfläche etc.l. Voltarrasche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich über einen mit der Variablen x sich verändernden Bereich (vgl. (2}). Unabhängig von dieser Kennzeichnung ist die folgende Einteilung: Integralgleichung 1. Art: Die unbekannte Funktion kommt nur im Integranden vor. Integralgleichung 2. Art: Die unbekannte Funktion erscheint auch außerhalb des Integranden. Wie bei Differentialgleichungen unterscheidet man lineare Integralgleichungen: Die Gleichung ist linear in der unbe­ kannten Funktion. Im sonstigen Fall spricht man von einer nichtlinearen Integralgleichung. Eine weitere Unterteilung ist von den vorhergehenden Charak­ terisierungen unabhängig und betrifft die Integralbildung: reguläre Integralgleichung: Das Integral existiert als eigentliches Integral. schwach singuiäre Integralgleichung: Das Integral existiert als uneigentliches Integral.

die Vorlesung «Numerische Mathemati 11» empfehlenswert.

Die Zuverlassigkeitstheorie befaf!,t sich mit der Frage der Funktionstiichtigkeit oder Funktionssicherheit von technischen Systemen. Diese Problematik ist auf!,erordentlich vielschichtig. Ein sehr wichtiger Fragenkomplex betrifft dabei die Beeinflussung der Zuveriassigkeit oder Verftigbarkeit eines Systems durch die S t r u k t u des r Systems. Gemeint ist damit die Empfindlichkeit oder Verietzlichkeit eines Systems gegeniiber dem Ausfall oder dem fehlerhaften Funktionieren von einer oder von mehreren Kom­ ponenten, von Teilsystemen oder von Systemfunktionen. Diese Thematik ist Gegen­ stand dieses Buches. Genauer gesagt geht es zunachst urn die Beschreibung oder Mod e II i e run g von funktionalen Systemstrukturen im Hinblick auf Zuverlassigkeits-und Verftigbarkeits­ untersuchungen. Sodann geht es urn die Ansatze und die Met hod e n z u mat r h- mat i s c hen Untersuchung dieser Modelle und ihrer Eigenschaften. Und schlief!,lich geht es urn die A I g 0 r i t h men zur computergestiitzten Analyse der Zuveriassigkeit und der Verftigbarkeit.

In der Regel enthalten wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge gegenwärtig im Grundstudium, also in den ersten drei oder vier Semestern, eine Einfiihrung in die Mathematik, die zumindest Teile der reellen Analysis und der linearen Algebra urnfaßt. Genauso wie meine in dieser Reihe erschienene ,,Analysis für Ökonomen", nachfolgend mit [1] zitiert, beruht auch dieser Band auf einer langjährigen Erfahrung im Unterricht und gibt im wesentlichen - mit Ausnahme von Kapitel 4 - den Stoff wieder, der je­ weils in vierstündigen Vorlesungen im Sommersemester behandelt wurde. Auf die über die sog . . . Mathematik fiir Ökonomen" nach wie vor bestehenden Auffas­ sungsunterschiede bezüglich Stoff auswahl und vor allem Darstellungsweise habe ich in [1] bereits hingewiesen und meine Ansicht darüber deutlich gemacht, so daß ich mich hier nicht wiederholen muß. Vielmehr liegt mir daran klarzustellen, daß die mathema­ tische Grundausstattung, die sich der Leser mit dem Studium dieser beiden Bände er­ werben kann, nicht sicherstellt, daß er sich mit j e dem Teilbereich der Wirtschafts­ wissenschaften - sei es nur rezeptiv oder gar aktiv - ohne weiteres zu befassen in der Lage ist. Teile der theoretischen Volkswirtschaftslehre ebenso wie neuere Entwicklun­ gen der Ökonometrie und des Operations Research (Management Science, Decision Science) sind ohne weitergehende mathematische Kenntnisse, z. B. über Differential­ gleichungen, Funktionanalysis, Maßtheorie u. a. , nicht mehr zu verstehen. Damit stellt sich die schwierige Aufgabe, Studiengänge so flexibel zu gestalten, daß der Zugang zu solchen Forschungsbereichen während des Studiums nicht grundsätzlich per Reglement verunmöglicht wird.

In den letzten zwei Jahrzehnten sind Einflihrungen in die Mathematik zum selbstver­ stiindlichen Bestandteil der wirtschaftswissenschaftlichen Propadeutik geworden. Der Grund hierfiir liegt nicht in erster Linie in einer naturgegebenen Uebe der Okonomie­ studenten zur Mathematik, sondem in der Entwicklung der Denk-und Arbeitsweise in weiten Teilen der Wirtschaftswissenschaften wahrend der letzten drei bis vier Jahr­ zehnte. Da es oft unmogllch erscheint, rea1e wirtschaftliche Situationen und Vorgiinge in ihrer ganzen Komplexitat und mit all ihren Interdependenzen zu erfasssen und zu beurteilen, bildet man sie in - notwendigerweise idealisierte - mathematische Modelle ab, analysiert diese mit mathematischen Methoden und gewinnt aus der Interpretation der mathematischen Ergebnisse Antworten auf die interessierenden wirtschaftlichen Fragen. Ohne die spezifischen Probleme der Modellierung hier zu erortem, diirfte eines klar sein: Wennjemand so arbeiten oder so entstandene Ergebnisse wissenschaft­ lich vertretbar beurteilen will, dann m~ er nicht nur liber das unabdingbare fach­ speziflsche - hier also das entsprechende wirtschaftswissenschaftliche - Wissen ver­ rugen, sondem auch mit den als Hilfsmittel benotigten mathematischen Methoden und Denkweisen hinreichend vertraut sein. Wahrend also weitgehend Einigkeit darUber besteht, ~ die wirtschaftswissenscha- liche Propadeutik auch Teile der Mathematik umfaSt, gehen die Auffassungen liber Urnfang, Stoffauswahl und Art der Darstellung teilweise erheblich auseinander, wie man ohne weiteres bei der Lektiire der zahlreichen diesbezUgllchen LehrbUcher und in Diskussionen mit Dozenten feststellt.

In diesem Buch werden Aspekte der Aussagenlogik und der Prädikaten­ logik der ersten Stufe behandelt. Eine Mathematisierung und Kalkü­ lisierung der Logik kann natürlich ganz verschieden ausfallen, je nach dem, von welchen Motiven man sich primär leiten läßt. Wir stellen drei Gesichtspunkte, die uns auch als die wesentlichsten erscheinen, in den Vordergrund: Die Formalisierung des Wahrheits­ begriffes, die Formalisierung des Beweisbarkeitsbegriffes und das Problem des Suchens nach Beweisen. Diese drei Aspekte führen zu drei verschiedenen Arten von Kalkülen. Die Betonung des Wahrheitsbegriffes führte auf die untersuchung der Hilberttypkalküle von einem Standpunkt, wie er etwa auch im Buch von Rasiowa-Sikorski [Ra-Si] eingenommen wird. Hierbei wurde besonderen Wert auf die algebraischen Techniken gelegt, denn die Natur der Vollständigkeitsbeweise in diesen Kalkülen läßt sich u. E. eigentlich nur algebraisch verstehen. Etwas überspitzt könnte man formulieren, daß die Vollständigkeitsbeweise in Hilberttypkal­ külen Korollare zu Betrachtungen über Kongruenzrelationen in ge­ wissen Boole'schen Algebren sind. Bei den modelltheoretischen Be­ trachtungen haben wir uns kurz ge faßt und nur einige grundlegende Begriffe vorgestellt.

Operations Research befaßt sich mit der mathematischen Analyse technisch-wirtschaft­ licher Probleme und Systeme. Man hat es dabei immer mit mehr oder weniger ausge­ prägten Unsicherheiten und Ungewißheiten zu tun. Oft kann man die Unsicherheiten vernachlässigen und mit Schätzungen, mittleren oder erwarteten Werten arbeiten. Es gibt jedoch Probleme, deren Wesen gerade durch den Zufall bestimmt ist. Man würde den Kern des Problems nicht treffen, wollte man versuchen, den Zufallsfaktor zu eli­ minieren. In solchen Fällen muß das Problem mit wahrscheinlichkeitstheoretischen oder stochastischen Methoden angepackt werden. Man hat es dabei fast immer mit dynamischen, zeitlichen Abläufen zu tun. Die Pro­ bleme fallen daher in das Gebiet der stochastischen Prozesse. Die grundlegenden Instru­ mente zur Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research bilden die Erneuerungstheorie und die Theorie der Markoff-Ketten (Kapitel 2 und 3). Wichtige Anwendungen davon treten bei den Warteschlangensystemen (Kapitel4) und der dyna­ mischen Optimierung (Kapitel 5) auf. Von vorrangiger, praktischer Bedeutung ist die numerische Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research. Hierflir legen die Simulations-und Monte-Cario-Methoden (Kapitel 6) weitreichende Ansätze bereit. Es wird hier keinesfalls eine umfassende, vollständige Darstellung der einzelnen Gebiete angestrebt. Im Vordergrund steht vielmehr eine Einführung in die wichtigsten, ftir die jeweiligen Problemkreise charakteristischen Gedankengänge. Selbstverständlich beruhen die dargestellten stochastischen Methoden auf der allgemeinen Wahrscheinlichkeits­ theorie. Daher ist im Kapitell eine knapp gehaltene Einführung in die Wahrscheinlich­ keitstheorie vorangestellt, die derenwesentlichsten Ergebnisse enthält, wobei zum größten Teil auf die Beweise verzichtet wurde. Der Leser, der mit der Wahrscheinlich­ keitstheorie vertraut ist, kann dieses Kapitel überspringen.

Dieses Buch ist die Ausarbeitung und Weiterentwicklung einer Vorlesung, die für Na­ turwissenschaftler an der Universität Freiburg gehalten wurde. Angesprochen sind voc allem Studenten der Biologie, der Chemie und der Mineralogie; aber auch angehenden Physikern sollte die Lektüredabei helfen, sich die bereits im ersten Semester gebrauchten Mathematikkenntnisse rasch anzueignen. Vorausgesetzt wird nur elementarer Schulstoff. Der Inhalt um faßt die wichtigsten Techniken der Analysis (Differential- und Integralrechnung, elementare Funktionen, Fourierreihen, gewöhnliche Differentialgleichungen) und das Notwendigste aus der analytischen Geometrie und linearen Algebra (Vektorrechnung. Matrizen. lineare Gleichungssysteme und Determinanten, Symmetriegruppen), Hinzu kamen in der 3.Auflage zwei Kapitel über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (wichtige Verteilungen, Erwartungswert und Varianz, Zufalisstichproben,Schätzen und Testen). Die vorliegende 4. Auflage ist ein unveränderter Nachdruck der 3. Auflage .. Zur Art der Darstellung: Die Mathematik erscheint nicht als Selbstzweck. sondern als H i I fs wissenschaft. Fragestellungen und Begriffsbildungen werden nach Möglichkeit von den Anwendungen her motiviert. An die Stelle allgemeiner Beweise treten oft Beweise für einfachere Sonderfälle. Viele Aussagen bleiben ganz unbewiesen. Sie werden dann durch umso mehr Beispiele erläutert und plausibel gemacht. Generell galt die Devise: Zahlreiche Beispiele, darunter möglichst viele aus den einzelnen Natur­ wissenschaften. Nach jedem größeren Abschnitt findet man eine Sammlung von Übungsaufgaben. Für die meisten davon - durch * gekennzeichnet - sind die Ergebnisse am Ende des Buches kurz angegeben. Auf weitergehende mathematische Literatur wurde kaum hingewiesen,da dem Leser dafür ohnehin die Zeit fehlen wird. Die in eckigen Klammern stehenden Literaturan­ gaben gehören in der Regel zu Anwendungsbeispielen.

In diesem Buch soil eine Einflihrung in die Kontrollverfahren gegeben werden, die bei der Entscheidung tiber AnnaJune oder Ablehnung einer Partie von Waren oder irgend­ welcher Produkte oder die zur Vberwachung einer Fertigung eingesetzt werden. Der Zusatz "statistisch" irn Titel weist darauf hin, d~ es hier ausschlief. \lich urn Stichprohen­ verfahren geht und nicht urn die technische Durchflihrung erforderlicher Messungen und auch nicht urn die erforderlichen organisatorischen M~naJunen irn Betrieb. Nur ein kleiner Teil der Studierenden der Mathematik, der Ingenieurwissenschaften und der Wirtschaftswissenschaften hat Zeit und Gelegenheit, dieses Teilgebiet der mathema­ tischen Statistik in Vorlesungen zu horen. Hieraufwar bei der Konzeption des Buches ebenso Riicksicht zu nehmen wie auf die unterschiedlichen rnathematischen und stati­ stischen Vorkenntnisse der Leser. Deshalb werden alle erforderlichen Begriffe und Lehi­ satze aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik in den ersten heiden Abschnitten so breit dargestellt, d~ die Lektiire ohne Rtickgriff auf andere Lehr­ bticher moglich ist. Zwar ist die Benutzung von einfachen rnathematischen Hilfsmitteln unvermeidbar, doch habe ich rnich bemiiht, das Verstiindnis durch ausfiihrliche ErIau­ terungen, durch haufige Wiederholung der Bedeutung der benutzten Symbole und die Vermeidung von ,,AbkUrzungen" zu erleichtern. Andererseits werden die Bezeichnungen und Definitionen in so allgemeiner Form eingeftihrt, wie es das Studium weiterftihrender Literatur erfordert.