Bücher der Reihe Masterclass

Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einfuhrung in die Differentialgeometrie etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunachst wird die Geometrie von Flachen im Raum behandelt. Hierbei wird die geometrische Anschauung des Lesers anhand vieler Beispiele gefordert, deren wichtigste Klasse die Minimalflachen bilden. Zu ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalflache mit vorgegebener Berandung zu finden, gelost. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differentialgeometrie wird der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flachen, einschlielich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausfuhrlichen Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden diesen Text ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen Konstruktionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung folgt. Das erste Lehrbuch, das eine grundliche Einfuhrung in die Theorie der Minimalflachen gewahrleistet.

"e;Die lineare Funktionalanalysis ist ein weitgehend kanonisiertes Teilgebiet der Mathematik, das in seiner Synthese von Algebra, Topologie und Analysis von groem asthetischem Reiz ist. Das vorliegende Buch gibt eine geschlossene, geschickt aufgebaute und gut geschriebene Einfuhrung in dieses Gebiet, die auch die erforderlichen Kenntnisse aus der Matheorie ... [in eigenen Anhangen] bereitstellt."e; (Internationale Mathematische Nachrichten)Das Buch enthlt berdies zahlreiche Aufgaben, die meisten mit Lsungen. Die vorliegende vierte Auflage ist berarbeitet. Es wurden einige neue Beweise aufgenommen und im Detail viele zustzliche Erluterungen eingefgt.Das Buch ist besonders geeignet fr Leser, die schnell zu den zentralen Aussagen vorstoen wollen und insbesondere an Anwendungen auf Differentialgleichungen interessiert sind.

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen Satze naher gebracht, die fur die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausfuhrlich die Sobolevschen Funktionenraume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularitatstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, also der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgfaltig ausgewahlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

Was bedeutet eigentlich dieser p-Wert? Und was heit es, zu sagen: Das Ergebnis ist signifikant!"e;? Dieses Buch bietet eine kompakte und verstandnisorientierte Einfuhrung in die Inferenzstatistik mit dem Ziel, solche Fragen korrekt beantworten zu konnen. Der Schwerpunkt des Buches liegt dabei auf der Logik, die der Inferenzstatistik und dem Hypothesentesten zugrunde liegt. Damit wird es der Leserin und dem Leser ermoglicht, die Tucken der Datenauswertung kennenzulernen und Ergebnisse richtig zu interpretieren. Daruber hinaus wird diese Logik auf die am haufigsten verwendeten Verfahren (t-Test, Varianzanalyse mit und ohne Messwiederholung, Korrelation/Regression) ubertragen. Erganzt werden die Kapitel durch Auswertungsbeispiele aus dem Forschungsalltag inklusive beispielhafter Auswertungen mit den Programmen SPSS und R.

Als Grenztheorie der Quantenmechanik besitzt die klassische Dynamik einen groen Formenreichtum - vom gut berechenbaren bis zum chaotischen Verhalten. Ausgehend von interessanten Beispielen wird in dem Band nicht nur eine gelungene Auswahl grundlegender Themen vermittelt, sondern auch der Einstieg in viele aktuelle Forschungsgebiete im Bereich der klassischen Mechanik. Didaktisch geschickt aufgebaut und mit hilfreichen Anhangen versehen, werden lediglich Kenntnisse der Grundvorlesungen in Mathematik vorausgesetzt. Mit uber 100 Aufgaben und Losungen.

Ziel dieses Lehrbuches ist es, einen verständlichen, möglichst direkten und in sich geschlossenen Zugang zu wichtigen Ergebnissen der mehrdimensionalen Funktionentheorie zu geben. Hierbei führt der Weg von elementaren Eigenschaften holomorpher Funktionen über analytische Mengen und Holomorphiebereiche bis hin zum Levi-Problem. Ein abschließendes Kapitel enthält mit der Konstruktion des mehrdimensionalen holomorphen Funktionalkalküls nach Shilov, Waelbroeck und Arens-Calderón und dem Satz von Arens-Royden wichtige Anwendungen auf die Theorie komplexer Banachalgebren. Zahlreiche Übungsaufgaben ergänzen den theoretischen Teil.Vorausgesetzt wird nur der Inhalt der Grundvorlesungen in Analysis und einer üblichen einsemestrigen Vorlesung über Funktionentheorie einer komplexen Veränderlichen. Das Buch richtet sich besonders an fortgeschrittene Bachelorstudierende oder Studierende eines Masterstudienganges und eignet sich bestens als Begleitlektüre zu einer Vorlesung oder auch zumSelbststudium.

Ausgehend vom Shannon-Wiener-Zugang zur mathematischen Informationstheorie, die eine mathematische "Messung" einer Informationsmenge erlaubt, beginnt das Buch mit einer Abgrenzung der Begriffe Nachricht und Information und der axiomatischen Zuordnung einer Informationsmenge zu einer Wahrscheinlichkeit. Im zweiten Teil werden abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume untersucht, deren mittlere Informationsmenge zur Definition der Shannon-Entropie führt; dabei werden drei klassische Anwendungen der Shannon-Entropie in der statistischen Physik, der mathematischen Statistik und der Nachrichtentechnik vorgestellt, und es wird ein erster Einblick in den Bereich Quanteninformation gegeben. Der dritte Teil ist allgemeinen Wahrscheinlichkeitsräumen gewidmet und behandelt insbesondere die informationstheoretische Analyse dynamischer Systeme. Das Buch baut auf Bachelor-Wissen auf und ist in erster Linie für Mathematiker und Informatiker gedacht; daher wird großer Wert auf exakte Beweisführunggelegt.

Das Lehrbuch prasentiert die Grundlagen der stochastischen Modellierung: Masstheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Theorie stochastischer Prozesse und Markov-Theorie. Vermittelt wird eine solide mathematische Fundierung der Warteschlangentheorie.