Bücher der Reihe Mathematische Leitfaden

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten­ logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An­ fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati­ schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff.

1m Jahre 1945 haben Eilenberg und Mac Lane in ihrer Arbeit tiber eine "General theory of natural equivalences" 1) die Grundlagen zur Theorie der Kategorien und Funktoren gelegt. Es dauerte dann noch zehn Jahre, bis die Zeit mr eine Weiterentwicklung dieser Theorie reif war. Zu Beginn des Jahrhunderts hatte man noch vorwiegend einzelne mathematische Objekte studiert, in den letzten Dekadenjedoch hat sich das Interesse immer mehr der Unter­ suchung der zuliissigen Abbildungen zwischen mathematischen Objekten und von ganzen Klassen von Objekten zugewendet. Die angemessene Methode fiir diese neue Auffassung ist die Theorie der Kategorien und Funktoren. Ihre neue Sprache - selbst von ihren Begrtindern zuniichst als "general abstract nonsense" bezeichnet - breitete sich in den verschiedensten Gebieten der Mathematik aus. Die Theorie der Kategorien und Funktoren abstrahiert die Begriffe "Objekt" und "Abbil­ dung" von den zugrunde liegenden mathematischen Gebieten, z. B. der Algebra oder der Topologie, und untersucht, welche Aussagen in einer solchen abstrakten Struktur moglich sind. Diese sind dann in all den mathematischen Gebieten giiltig, die sich mit dieser Sprache erfassen lassen. Selbstverstiindlich bestehen heute einige Tendenzen, die Theorie der Kategorien und Funkto­ ren zu verselbstiindigen und losgelost von anderen mathematischen Disziplinen zu betrachten, was zum Beispiel im Hinblick auf die Grundlagen der Mathematik einen besonderen Reiz hat.

Ein ungewöhnliches Buch über gewöhnliche Differentialgleichungen"Ein Naturgesetz ist eine unveränderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen, mit einem Wort: es ist eine Differentialgleichung." So Henri Poincaré, einer der größten Mathematiker um 1900. Die Naturwissenschaften sind ohne Differentialgleichungen nicht vorstellbar. Dieses Buch möchte deshalb nicht nur in ihre Theorie einführen, sondern mittels vieler Beispiele aus Physik, Chemie, Astronomie, Biologie, Medizin und Ingenieurwissenschaften auch Ausblicke auf ihre naturerschließende Kraft und ihre praktischen Anwendungen geben.

Das vorliegende Buch vermittelt nicht nur die Grundbegriffe, Haupttheoreme und tragenden Methoden der Funktionalanalysis in lebendiger und eingängiger Weise, sondern entwickelt dies aus den praktischen Fragestellungen der Naturwissenschaften und der klassischen Analysis. Eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben hilft bei der Vertiefung und Einübung des Gelernten.

Seit Erscheinen meines Buches "Lineare Operatoren in Hilberträumen" [38] im Jahre 1976 und dessen englischer Übersetzung [39] im Jahre 1980 haben mich viele freundliche Stellungnahmen erreicht. Häufig wurde aber auch bedauert, daß die Anwendungen auf Differentialoperatoren der Quantenme­ chanik und auf die Streutheorie aus Gründen des Umfangs nur sehr un­ befriedigend behandelt werden konnten. Dieser Mangel soll jetzt behoben werden. Dazu ist allerdings die Verteilung des Stoffes auf zwei Bände nötig geworden. Ich bin Herrn Dr. P. Spuhler vom Teubner-Verlag sehr dankbar dafür, daß er diesen Plan von Anfang an unterstützte. Der vorliegende erste Teil soll die Grundlagen der Theorie darstellen; Anwen­ dungen treten hier nur in Form von illustrativen Beispielen auf. Dabei hat es auf Hilberträume zu be­ sich als nützlich erwiesen, sich nicht von Anfang an schränken, sondern, soweit dies die Darstellung nicht zu sehr belastet, auch allgemeinere normierte oder Banachräume zu betrachten. Dieser erste Band sollte deshalb eine für Mathematiker und Physiker nützliche Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis und der Hilbertraumtheorie bieten, die auch zum Selbststudium geeignet ist. Als Voraussetzung zur Lektüre soll­ te dabei der Stoff der üblichen Anfängervorlesungen für Mathematiker oder Physiker und einige Kenntnisse aus der Funktionentheorie und der Theo­ rie der gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen. Eine für diese Zwecke geeignete vollständige Einführung in die Lebesguesche Integration wird in Anhang A gegeben. Der geplante zweite Teil wird dann Anwendungen auf die gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren der Quantenmechanik einschließlich einer Einführung in die Streutheorie enthalten.

Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den- selben Grundsatzen gefolgt, die fur den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausfuhrlich und falich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Ubungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Auerdem wollte ich Brucken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver- schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fordernde Ineinandergrei- fen "e;blasser"e; Theorie und "e;handfester"e; Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander- greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalitat und Dynamik verdankt. Und schlielich wollte ich durch eine klare und auch auerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafur sorgen, da der Leser trotz der Fulle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Anderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Anderung einer Funktion "e;im Kleinen"e; ihren Verlauf "e;im Groen"e; zu rekon- struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Uberlegungen Funktionen, de- ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Raumen sind. Dieser Ubergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi- mensionalen entspringt nicht muiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrucklich durch die unabweisbaren Bedurfnisse der Pra- xis aufgenotigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben fur gewohnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden ab. Die Analysis ist in einer 2500jahrigen Entwicklung muhevoll zu dem geworden, was sie heute ist.

In dieser umfassenden Einfuhrung in die Numerische Mathematik wird konsequent der Anwendungsbezug dargestellt. Zudem werden dem Leser detaillierte Hinweise auf numerische Verfahren zur Losung gewohnlicher und partieller Differentialgleichungen gegeben. Ein Kapitel zur Modellierung erleichtert den Studierenden das Verstandnis fur das Losungsverhalten bei Differentialgleichungen. Die besondere Qualitat des Buches liegt in der Klarheit und Prazision der Darstellung.