Bücher der Reihe Mathematische Leitfäden

Die Rand- und Eigenwertprobleme der Mathematischen Physik lassen sich fast alle in Integralgleichungen umformen. Der Aufbau der Theorie der Integralgleichungen durch 1. Fredholm, D. Hilbert und E. Schmidt zu Beginn unseres Jahrhunderts brachte daher große Fortschritte für die Mathematische Physik. Obwohl später andere und zum Teil weit­ reichendere Methoden gefunden worden sind, ist die Integralgleichungsmethode noch heute ein wirkungsvolles und vor allem in der Physik und den Ingenieurwissenschaften viel benutztes Instrument zur Behandlung solcher Probleme. Mit den Integralgleichungen begann die Entwicklung der heutigen Funktionalanalysis, deren Hauptgegenstand die Untersuchung der linearen Operatoren von einem topologischen Vektorraum in einen anderen ist. Die Theorie der Integralgleichungen erscheint in diesem Rahmen als Spezialfall: Die betrachteten Vektorräume sind hier Banachsche Funktionen­ räume, die Operatoren Integraloperatoren. Das Eigenwertproblem für eine Integralgleichung erweist sich als Spezialfall der Spektraltheorie linearer Operatoren. Die Verwendung der Begriffe und Methoden der Funktionalanalysis macht die Theorie der Integralgleichungen nicht nur einheitlicher und durchsichtiger, sie vereinfacht und erweitert sie so wesentlich, daß eine moderne Darstellung ohne diese Elemente nicht denkbar ist. Andererseits genügt es nicht, die Theorie der Integralgleichungen als Nebenprodukt oder Beispielsammlung im Rahmen der Funktionalanalysis abzuhandeln; eine solche Auffassung wird den Erforder­ nissen der Anwendungen nicht gerecht. Im vorliegenden Buch wird daher ein mittlerer Weg eingeschlagen: Es wird eine Einführung in die Funktionalanalysis vorausgeschickt, die in Umfang und Stoff auswahl auf die Integraloperatoren zugeschnitten ist; darauffolgt eine Theorie der Integraloperatoren mit ausführlicher Darstellung der typischen Anwendungen.

Mit diesem Buch werden vor allem zwei Ziele angestrebt. Einmal sollen die Grund­ begriffe der Theorie der Moduln und Ringe dargestellt werden. Dabei ist die Darstel­ lung so ausflihrlich gehalten, daß das Buch auch zum Selbststudium geeignet ist. Andererseits ist es meine Absicht, gewisse Gegenstände. die bisher keine lehrbuch­ mäßige Darstellung gefunden haben, jedoch in diesem Gebiet einen wichtigen Platz einnehmen, in leicht zugänglicher Weise zu entwickeln. Es handelt sich insbesondere um Ringe mit vollkommener Dualität und Quasi-Frobeniusringe (QF-Ringe). Zusammenfassend soll das Buch den Leser in die Lage versetzen, von den einfachste!" Grundbegriffen ausgehend bis zu Fragestellungen und Überlegungen vorzudringen, die in der wissenschaftlichen Entwicklung von aktuellem Interesse sind. Dieser Absicht dienen auch die zahlreichen Übungen von verschiedenem Schwierig­ keitsgrad. Dabei soll nicht nur der im Text behandelte Stoff geübt, sondern auch Begriffe und Entwicklungsrichtungen berührt werden, die im Buch sonst keine Be­ handlung finden. Der Aufbau des Buches ist von der Überzeugung bestimmt, daß die Begriffe pro­ j e k t ver i und i n j e k ver t i M 0 d u 1 zu den wichtigsten Grundbegriffen der Theorie der Moduln und Ringe gehören und daher möglichst an den Anfang gestellt werden sollen. Diese Begriffe können dann auch bereits bei der Behandlung von klassischen Teilen der Theorie benutzt werden.

für lineare nicht viele grundlegend neue Erkenntnisse bringt.

The subject matter in this book is a fundamental part of the basic graduate real variable course as I now teach it. Since there are several excellent texts that generally cover the material here, I'm obliged to render an "apologia" for the present text con­ cerning its content, presentation and existence. The theme of this book is the notion of absolute continuity and its role as the unifying concept for the major results of the theory, viz., the Lebesgue dominated convergence theorem (LDC) and the Radon-Nikodym theorem (R-N). The main mathematical reason that I've written this book is that none of the other texts in the area stresses this issue to the extent that I think it should be stressed. Let me be more specific. The problem of taking limits under the integral sign, that is, "switching limits", is in a very real sense the fundamental problem in analysis. Lebesgue's axiomatization which formulates and proves LDC in an optimal way yields the most important gene­ ral technique for examining such problems. This material is developed in Chapter 3. Shortly after Lebesgue's initial work Vitali gave necessary and sufficient conditions to switch limits in terms of uniform absolute continuity. Vitali's result led to research which has culminated in Grothendieck's study of weak convergence of measures. This latter material is usually not included in most texts; in particular, its relationship to LDC is not emphasized. This is the reason that I've included Chapter 6.

Mit dem "Heuser" werden seit 1980 Generationen von Mathematik-Anfängern mit den Grundlagen der Analysis bekannt gemacht und behutsam in die Denkweise der Mathematik eingeführt. Die "praktischen" Auswirkungen der Theorie werden an zahlreichen, mit Bedacht ausgewählten Beispielen aus den verschiedensten Wissens- und Lebensgebieten demonstriert: u.a. aus Physik, Chemie, Biologie, Psychologie, Medizin, Wirtschaftswissenschaft und Technik.

Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den- selben Grundsatzen gefolgt, die fur den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausfuhrlich und falich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Ubungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Auerdem wollte ich Brucken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver- schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fordernde Ineinandergrei- fen "e;blasser"e; Theorie und "e;handfester"e; Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander- greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalitat und Dynamik verdankt. Und schlielich wollte ich durch eine klare und auch auerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafur sorgen, da der Leser trotz der Fulle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Anderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Anderung einer Funktion "e;im Kleinen"e; ihren Verlauf "e;im Groen"e; zu rekon- struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Uberlegungen Funktionen, de- ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Raumen sind. Dieser Ubergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi- mensionalen entspringt nicht muiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrucklich durch die unabweisbaren Bedurfnisse der Pra- xis aufgenotigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben fur gewohnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden ab. Die Analysis ist in einer 2500jahrigen Entwicklung muhevoll zu dem geworden, was sie heute ist.

The present book grew out of several courses which I have taught at the University of Zürich and at the University of Maryland during the past seven years. It is primarily intended to be a systematic text on locally convex spaces at the level of a student who has some familiarity with general topology and basic measure theory. However, since much of the material is of fairly recent origin and partly appears here for the first time in a book, and also since some well-known material has been given a not so well-known treatment, I hope that this book might prove useful even to more advanced readers. And in addition I hope that the selection ofmaterial marks a sufficient set-offfrom the treatments in e.g. N. Bourbaki [4], [5], R.E. Edwards [1], K. Floret-J. Wloka [1], H.G.Garnir-M.De Wilde-J.Schmets [1], AGrothendieck [13], H.Heuser [1], J. Horvath [1], J. L. Kelley-I. Namioka et al. [1], G. Köthe [7], [10], A P. Robertson­ W.Robertson [1], W.Rudin [2], H.H.Schaefer [1], F.Treves [l],A Wilansky [1]. A few sentences should be said about the organization of the book. It consists of 21 chapters which are grouped into three parts. Each chapter splits into several sections. Chapters, sections, and the statements therein are enumerated in consecutive fashion.

Dieses Buch ist der erste Teil eines zweibändigen Werkes über Analysis. Es ist aus Vorlesungen, Übungen und Seminaren erwachsen, die ich mehrfach an den Universitäten Mainz und Karlsruhe gehalten habe, und so angelegt, daß es auch zum Selbststudium dienen kann. Ich widerstehe der Versuchung, dem Studenten, der jetzt dieses Vorwort liest, ausführlich die Themen zu beschreiben, die ihn erwarten; denn dazu müßte ich Worte gebrauchen, die er doch erst nach der Lektüre des Buches verstehen kann-nach der Lektüre aber sollte er selbst wissen, was gespielt worden ist. Den Kenner hingegen wird ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis und ein rasches Durchblättern ausreichend orientieren. Dennoch halte ich es für möglich, anknüpfend an Schulkenntnisse und Alltagser­ fahrung auch dem Anfänger verständlich zu machen, was der rote Faden ist, der dieses Buch durchzieht und in welchem Geist es geschrieben wurde und gelesen werden möchte. Der rote Faden, das ständig aufklingende Leitmotiv und energisch vorwärts­ treibende Hauptproblem ist die Frage, wie man das Änderungsverhalten einer Funktion verstehen, beschreiben und beherrschen kann, schärfer: Welche Be­ griffe eignen sich am besten dazu, die Änderung einer Funktion "im Kleinen" (also bei geringen Änderungen ihrer unabhängigen Variablen) zu erfassen, was kann man über die Funktion "im Großen", über ihren Gesamtverlauf sagen, wenn man Kenntnisse über ihr Verhalten "im Kleinen" hat, geben uns diese Kenntnisse vielleicht sogar die Funktion gänzlich in die Hand ode{ besser: Wie tief müssen diese "lokalen Kenntnisse" gehen, um uns die Funktion "global" vollständig auszuliefern.