Bücher der Reihe Programm Praxis

Der vorliegenden Band enthält die Lösungen der Aufgaben des in dersel­ ben Reihe Programm Praxis erschienenen Lehrbuches 'Computermathema­ tik'. Die Kapiteleinteilung wurde beibehalten, die Aufgabenstellung wieder­ holt, um dem Leser ein gleichzeitiges Blättern in beiden Büchern zu ersparen. Für die zur Lösung erforderliche Theorie wird auf das Lehrbuch verwiesen. Bei den Lösungen der Aufgaben handelt es sich meistens um Program­ me, die in TURBO PASCAL angegeben sind. Bei Programmierubungen ist es sehr wichtig, dass man nicht nur lernt, selbst Programme zu schreiben, sondern auch, andere zu lesen, um eventuelle Anpassungen vornehmen zu können. Die vorliegenden Programme sollen diesem Zweck dienen. Der Leser sollte seine eigenen Lösungen mit den hier angeführten vergleichen. Bei grösseren Programmen gehen wir meistens in zwei Schritten vor: Zuerst wird ein 'Traktor' und erst anschliessend die 'Luxuslimusine' gebaut. Damit ist gemeint, dass man zuerst ein kurzes, lauffähiges Programm erstellt, das eine korrekte 1mplementation des Algorithmus darstellt, jedoch eventuell nur für Spezialfälle funktioniert. Erst danach wird das Programm für den allge­ meinen Fall erweitert. Als Beispiel sei auf den Algorithmus 4. 7 hingewiesen, mit dem Polynomnullstellen mittels Newtonverfahren und Deflation berech­ net werden. Der Algorithmus funktioniert nur für reelle Arithmetik und ist zwar kurz und übersichtlich, aber im allgemeinen unbrauchbar. Es ist aber nicht schwierig, diesen Algorithmus für komplexe Arithmetik umzuschreiben, wie in Aufgabe 4. 17 verlangt wird. Das neue Programm ist wesentlich länger und wäre ohne den vorher konstruierten 'Traktor' auch schwieriger zu pro­ grammieren. Programme können immer geändert, verbessert und erweitert werden.

In dem vorliegenden Buch wird der Versuch unternommen, die Schonheit, die Asthetik einfacher mathematischer Zusammenhange durch Computer­ graphiken darzustellen; eine Asthetik, die das Auge schauen kann, die von Farben, Formen und graphischen Eindriicken ausgeht. Nicht gemeint ist eine abstrakte Asthetik, die nur vom Verst and her - nos sen werden kann, die meist nur der praktizierende Mathematiker empfinden kann, wenn er beispielsweise einen eleganten Beweis liest. Vielleicht schlagen Sie einige Seiten auf, und lassen die Graphiken und Farbbildseiten auf sich wirken, bevor Sie weiterlesen. Es mag iiberraschen und faszinieren, da~ sehr einfache mathematische Formeln und Prozesse derma~en vielgestaltige Graphiken erzeugen konnen. Aufgrund dieser Einfachheit kann ein breites Publikum die Bilder selbst nachkonstruieren und neue entwerfen. Das Hand­ werkszeug fUr den Entwurf und die Ausfertigung der Graphiken ist der Computer. Ohne dieses schnelle Rechen - und Zeichengerat ware kaum eine dieser Graphiken entstanden. Angeregt wurde dieses Buch durch einen Ausstellungskatalog, den eine Bremer Arbeitsgruppe zur Mandelbrotmenge und riickgekoppelten Prozessen veroffentlichte, sowie durch das Buch von MANDELBROT "The Fractal Geometry in Nature", das in diesem Verlag in deut­ scher Obersetzung erscheinen wird. Diese Literatur enthalt nur wenige Hinweise zum Entwurf von Programmen, die die Graphiken erzeugen. Au~erdem werden sehr schnell vertiefte mathematische Kenntnisse gefordert. Es fehlt ein Buch, das geniigend vielfaltige Anleitungen zum Entwurf von Programmen darstellt, und dane ben mathematische Hintergriinde in Beziehung zum Schulstoff der Eukli­ dischen Geometrie, Elementaren Zahlentheorie und Analysis bringt.

Wissenschaft, Industrie und Wirischaft sind heute wesentlich von den Entwicklungen in der Mikro-Elektronik gepragt. Auch im Bereich von Spiel und Unterhaltung haben die Computer lingst Fuss gefasst. Das preisgiinstige Angebot an Tischrechnern hat dazu gefiihrt, dass heute professionelle Anwender und Hobby-Informatiker zuhause fast durchwegs iiber ihre eigenen Gerate verfiigen, und es diirfte wohl nicht mehr lange auf sich warten lassen, bis sie damit so nebenher auch noch die Spielzeug-Eisenbahn ihrer Kinder steuern konnen. Die enOrme Verbreitung der Computer hat einerseits ein wachsendes Bediirfnis nach entsprechender Begleitliteratur ausgeJOst. Zudem zeichnet sich immer deutlicher ab, dass fortan dem Computer auch in der Schule ein angemessener Platz eingeraumt werden muss. Das vorliegende Buch sucht beide Erfordernisse im Auge zu behalten; es ist daher bewusst zweigleisig ausgerichtet. Als Beitrag zur Computer-Literatur hebt es sich dadurch ab, dass es zwischen den vorhandenen rein wissenschaftlich orieniierten Schriften und den vielen popular-naiven Programmieranleitungen zu einem bestimm­ ten Rechner eine Mittelstellung einnimmt. Das Buch will primar anspruchsvolle Ele­ mentarmathematik unter Ausnutzung der Moglichkeiten eines Tischrechners prasen­ tieren. Die Auswahl der behandelten Themen und der praktizierte Stillassen aber zu­ gleich auch didaktische Absichten des Autors erkennen. Er mOchte damit einen gangbaren Weg bei der notwendigen Neuausrichtung des Mathematik-Unterrichts im Computer-Zeitalier aufzeigen. Yom Stoff her gesehen geM es dabei vor allem um die Stufe des Gymnasiums und der Propideutik an der Hochschule.

Wir stellen ein neues Konzept zur numerischen Behandlung statistischer Methoden mittels programmierbarer Rechner vor. Ziel ist es, mit sparsamem Einsatz der verfUgbaren Rechnerkapazitaten und mit einem transparenten Methodensystem ein moglichst breites Spektrum von Anwendungen zu demonstrieren. Das Buch wendet sich an Wissenschafter, Ingenieure und andere Personen, die in ihrem Fach mehr oder weniger haufig statistische Auswertungen durchfUhren und an Personen, die selber Statistikprogramme herstellen wollen. Das vorliegende Konzept ist vollstandig rechnerunabhangig und lasst sich auf jedem Rechner mit einer gewissen Mindestkapazitat leicht realisieren, sei es nun ein Taschenrechner, ein Minicomputer oder ein Grosscomputer. Eine ausgearbeitete Version fUr einen Hewlett-Packard HP-41C - Taschenrechner mit Dokumentation und vollstandigen Programmlisten ist als Band 'ALSTAT - Algorithmen der Statistik fUr Hewlett-Packard HP-41C' im selben Verlag erhaltlich. Es ist vorgesehen, die Programme nicht nur in Form von Listen, sondern auch auf andern Medien (Magnet­ band, Magnetkassette oder Modul) zu vert rei ben. ~·1an beachte di e AnkUndi gungen des Verlags. Es ware auch mOglich, Realisierungen des allgemeinen Konzepts auf andern Rechnern (z.B. in BASIC oder PASCAL) in derselben Reihe zu veroffentlichen. Wir wollen und konnen hier keine EinfUhrung in statistische Methoden geben. DafUr gibt es LehrbUcher und Statistikkurse. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis zeigt, dass ein umfangreicher Teil der haufig verwendeten Methoden abgedeckt wird, so dass das Buch auch als Formelsamnlung dienen kann.

ALSTAT PC ist eine Realisierung des Konzeptes, wie es in "ALSTAT 1 - Algorithmen der Statistik fUr Kleinrechner" beschrieben wird. Es ist fur den Einsatz auf IBM PC und kompatiblen Rechner ent­ wickelt worden. ALSTAT PC bietet nicht fertige Statistik-Programme an, sondern pr~sentiert sich in Form eines Tischrechners, welcher nur diejenigen Resultate liefert, welche ausdrUcklich verlangt werden. In diesem Sinne knupft ALSTAT PC an die Programme fur den HP-4l-C Taschenrechner an, welche im Band "ALSTAT 2" vorgestell t wurden. Die Realisierung auf einem Personal Computer bietet aller­ dings wesentlich mehr Komfort hinsichtlich Schnelligkeit, Ueber­ sichtlichkeit, Datenmanipulation und Weiterverarbeitung der Resul­ tate. Wie erste Erfahrungen gezeigt haben, eignet sich das Pro­ gramm auch gut zur Beglei tung des Statistik-Unterrichts. Vom Be­ nutzer wird lediglich vorausgesetzt, dass er das Betriebssystem MS-DOS einigermassen kennt und einen Texteditor bedienen kann. Das vorliegende Handbuch ist der Beglei ttext zur ALSTAT-PC Pro­ grammdiskette. Diese kann mit der diesem Band beigefugten Bestell­ karte direkt beim Verlag oder tiber den Buchhandel bezcgen werden. Neben der grunds~tzlichen Beschreibung des Programmes enth~l t das Handbuch zahlreiche leicht nachvollziehbare Auswertungen von Zah­ lenmaterial, welches ebenfalls auf der Programmdiskette mi tgelie­ fert wird. Dami t kann der Benutzer samtliche Moglichkei ten von ALSTAT PC kennenlernen, bevor er das Programm fur seine eigenen Arbeiten einsetzt. Am Schluss des Handbuches finden Sie ein Formular, mit welchem Sie allf~llige programmfehler oder auch Verbesserungsvorschlage den Autoren mitteilen konnen.

Das vorliegende Buch ist aus zehnjahriger U nterrichtserfahrung des Autors am Neu-Technikum Buchs und an der ETH Zurich entstanden. Uberall urn uns herum finden wir Computer, welche als wunderbare neue Instrumente die Moglichkeiten der Technik entscheidend erwei­ tern. Das Umgehen mit Computern gehort zur Allgemeinbildung. Man fuhrt Programmierkurse nicht nur in den Schulen, sondern auch in der Erwachsenenbildung und mittels speziellen Impulsprogrammen durch. Dieses Buch ist keine Einfuhrung in die Programmierung, sondern setzt voraus, dass der Leser bereits eine Programmiersprache kennt und schon Programme geschrieben hat. Ziel dieses Buches ist es, den Computer als faszinierendes neues Instrument im Mathematikunter­ richt in hoheren Schulen (Mittelschulen, Ingenieurschulen und Einfuh­ rungsvorlesungen an Universitaten) einzusetzen, und damit Aufgaben zu losen, die man vor dem Computerzeitalter nicht angepackt hatte. Vieles, was fruher fur die mathematische Allgemeinbildung uner­ lasslich schien, kann heute weggelassen werden, z. B. muss man bei der Integration nicht mehr soviele Kunstgriffe lernen, urn moglichst viele Integrale analytisch losen zu konnen, oder bei den Differentialgleichun­ gen ist es auch nicht mehr notig, jeden noch analytisch losbaren Typ zu kennen. Viel wichtiger ist zu lernen, wie man eine Differentialgleichung auf ein System erster Ordnung zuruckfiihrt. Nach wie vor sind aber fundament ale Kenntnisse in Analysis und linearer Algebra unerlasslich. Diese werden hier oft benuzt und es ist zu hoffen, dass die Matrizen­ rechnung bald, wie vor ca. 40 Jahren die Differentialrechnung, in die Mittelschule einziehen wird.

7 0 INHALT EINLEITUNG 9 1 2 ALLGEMEINER AUFBAU 11 2.1 TECHNISCHE VORAUSSETZUNGEN 11 2.2 GEMEINSAME STRUKTUR DER PROGRAMME 11 11 2.2.1 Aufbau des Tastenfe1des 2.2.2 Grundrechner-Funktionen 17 2.2.3 Kontro11funktionen 18 21 2.2.4 Eingabefunktionen . 2.2.5 Variab1en . 21 21 2.2.6 Statistikfunktionen 2.3 FEHLERBEHANDLUNG 22 23 2.4 DIE TRANSFORMATIONSROUTINE TRA 24 2.5 FORMAT DER FUNKTIONSBESCHREIBUNGEN 2.6 ZU DEN BEISPIELEN . 25 26 3 STAT1 PROGRAMMBESCHREIBUNG 3.1 DAS TASTENFELD 26 29 3.2 FUNKTIONSBESCHREIBUNGEN . 3.2.1 Kontro11funktionen 29 30 3.2.2 Eingabefunktionen . 3.2.3 Variab1en . 32 3.2.4 Statistikfunktionen 33 3.3 BEMERKUNGEN . 35 3.3.1 Masszah1en 35 3.3.2 Extremwerte . 35 3.3.3 Der Stack. 36 3.3.4 Transformationen 36 36 3.3.5 Histogramm 3.3.6 Hinweis zum a11gemeinen Gebrauch 37 3.4 FEHLERLISTE . 38 3.5 BEISPIELE . 39 LINMOD PROGRAMMBESCHREIBUNG . 51 4 4.1 DAS TASTENFELD 51 4.2 FUNKTIONSBESCHREIBUNGEN . 54 4.2.1 Kontro11funktionen 54 54 4.2.2 Eingabefunktionen . 4.2.3 Variab1en . 56 4.2.4 Statistikfunktionen 56 59 4.3 BEMERKUNGEN .

Graphentheorie: eine Theorie, oder einfach eine Methode, um Sachverhalte an­ schaulich darzustellen, die auch in anderer Weise erfassbar waren? Beides trifft zu: Tatsachlich ist die Graphentheorie heute bereits ein recht weit entwickelter Zweig der diskreten Mathematik, mit dem sich Spezialisten befassen. Auf der anderen Seite bietet die Abstraktion von Problemstellungen aus der "rea­ len" Welt auf die beiden urspriinglich der Geometrie entliehenen Elemente "Punkt" und "Kante" eine reizvolle Gelegenheit, auch fUr die Losung von Aufgaben eher kombinatorischer Natur an die bildliche Vorstellung zu appellieren. Dieses Buch ist aus dem Manuskript einer einsemestrigen Vorlesung entstan­ den, die ich mehrere Male an der Eidgenossischen Technischen Hochschule Ziirich (ETH) fUr Studenten der Informatik und der Mathematik in mittleren Semestern gehalten habe. Der Text richtet sich - ausser an dies en Kreis - durchaus auch an Studenten von Hoheren Technischen Lehranstalten (bzw. Fachhochschulen), sowie an Gymnasiallehrer. Die letzteren werden zwar den Stoff kaum als geschlos­ senen Lehrgang beniitzen, konnen jedoch eventuell einzelne herausgegriffene Teile im Unterricht der oberen Klassen einbringen. Das Buch solI zunachst eine erste EinfUhrung in die Graphentheorie vermitteln - wer nur diese sucht, kann im Extremfall die Kapitel 3 und 4, sowie in den folgenden Kapiteln alles, was sich auf Algorithmen bezieht, weglassen.