Bücher der Reihe Teubner Studienbucher Mathematik

in die Statistik 5., durchgesehene Auflage Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Jurgen Lehn Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitaten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe. 1978 Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitaten Mainz und Tubingen. Wiss. Assistent an den Universitaten Mainz und Stuttgart. 1962 Staats- amen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. 1970 Professor fur Mathematik an der Technischen Hochschule Darmstadt. 1. Auflage 1985 2. Auflage 1992 3. Auflage 2000 4. Auflage 2004 5., durchgesehene Auflage Juni 2006 Alle Rechte vorbehalten (c) B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschlielich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auerhalb der engen Grenzen des Urheberrech- gesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Das vorliegende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studenten der Ma­ thematik, aber auch an Studenten der Informatik und ganz allgemein an mathematisch vorgebildete Leser mit Interesse an moderner Algebra. In erster Linie kann man die Allgemeine Algebra als eine übergreifende Theo­ rie der verschiedenen algebraischen Einzeldisziplinen (wie z. B. Gruppen-, Ring-und Verbandstheorie) verstehen, in der die diesen Gebieten gemein­ samen Phänomene und Methoden herausgearbeitet werden. Daruberhinaus hat die Allgemeine Algebra, wie jedes andere eigenständige mathematische Gebiet, ihre eigenen Methoden und Betrachtungsweisen entwickelt. Die­ ses Buch möchte eine Einführung in grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Allgemeinen Algebra geben. Die ersten sieben Kapitel behandeln den Standardstoff einer Einführungsvorlesung in die Allgemeine Algebra. In den beiden restlichen Kapiteln werden dann zwei der faszinierendsten Entwick­ lungen der letzten Jahre vorgestellt, nämlich die Kommutatortheorie der Allgemeinen Algebra sowie R. McKenzies völlig neuartige Strukturtheorie endlicher Algebren. Die aktuelle Bedeutung der Allgemeinen Algebra liegt aber nicht nur in der Entwicklung interessanter, weitreichender Methoden innerhalb des Gebiets selbst, sondern auch in den engen Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Informatik, so daß Kenntnisse in Allgemeiner Algebra gerade aus Sicht der Informatik nützlich sind. Neue Begriffe werden in diesem Buch nach Möglichkeit erst dort ein­ geführt, wo sie wirklich benötigt werden. Dadurch soll die Theorie auch für den Anfänger durchschaubar bleiben, und gleich im ersten Kapitel kann mit den Grunddefinitionen der Allgemeinen Algebra begonnen werden, ohne die sonst oft üblichen Vorschübe über Mengen, Hüllensysteme,Verbände oder Kategorien.

Das Ziel der hier vorliegenden Abhandlung ist eine einfache einheitliche Darstellung der Konvergenzbeweise fUr numerische Verfahren nichtlinea­ rer Optimierungsaufgaben und der damit verbundenen nichtlinearen Gleichungen. 1m wesentlichen werden Verfahren betrachtet, die auf der Idee des Gradienten- und Newton-Verfahrens beruhen. Es wurde dabei nach moglichst einfachen Beweisen fUr die Konvergenz und die Konver­ genzgeschwindigkeit von Algorithmen fUr Aufgaben in dem Euklidischen n Raum IR gesucht. Es hat sich aber herausgestellt, daB gerade die einfa­ n chen Beweise nicht die spezielle Struktur des IR benutzen und in allge­ meinen normierten Raumen gUltig sind. Das zentrale Beweismittel ist hier der Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der Integralform, der auch in Banachraumen gilt. Wir setzen den Begriff eines Vektorraumes ( linearen Raumes ) als bekannt voraus und wollen mit der Definition eines normierten Raumes die EinfUhrung beginnen. Die Auswahl der Eigenschaften eines normierten Raumes wird sich an der Tatsache orien­ n tieren, daB die Numerik in IR im Vordergrund stehen soll. linter einem Vektorraum wird im gesamten Text ein Vektorraum Uber dem Korper der reellen Zahlen verstanden. Es wird empfohlen sofort mit dem eigentlichen Text (ab Kapitel 1) anzufangen und die EinfUhrung nur als Nachschlage­ werk zu benutzen. Denn die EinfUhrung ist an einigen Stellen als Ergan­ zung gedacht. So werden z. B. im Abschnitt 0. 8. 6 uniform konvexe Funk­ n tionen eingefUhrt, die auch fUr die Numerik in IR wichtig sind.

Obwohl noch nie so viele Daten über die Welt zur Verfügung standen wie heute, wird die Wirklichkeit immer undurchsichtiger. Sie präsentiert sich als Ansamm­ lung voneinander getrennter Einzelbereiche, schön geordnet nach Ressorts und Fachbereichen und damit zu Bruchstücken auseinandergerissen. Ihrem Wesen nach ist die Realität jedoch ein vernetztes System, in dem es oft weniger auf jene Einzelbereiche ankommt als auf die Beziehungen zwischen ihnen. Damit ist ein Ziel dieses Buches angesprochen: Es faßt die Wirklichkeit auf als dynamisches Wechselspiel zwischen Zuständen und Flüssen. Und mit Hilfe dieser beiden Bau­ steine - Zustände und Zustandsänderungen (Flüsse) - werden Ausschnitte aus der Wirklichkeit modellhaft als vernetzte Systeme dargestellt. Die Güte derartiger Modelle mißt sich in der Regel daran, wie gut sie die realen Bewegungen simulieren, das heißt nachahmen. Das zweite Anliegen ist daher die Analyse der Dynamiken dieser Modelle, das heißt ihres Lösungsverhaltens in Ab­ hängigkeit von der Zeit. Die Dynamiken natürlicher Systeme sind in der Regel periodisch und nicht linear. Sie ergeben sich aus der Verknüpfung einfacher Rhythmen wie Geborenwerden und Sterben oder Tag und Nacht. Am Beginn des Buches steht eine anschauliche Einführung in die ModelIierung dynamischer Vorgänge mit Hilfe von Zuständen und Flüssen. Am Beispiel eines "Weltmodells" wird ein Arbeitskonzept vorgestellt, welches den Leser von einer umgangssprachlichen Problembeschreibung hinführt zur mathematischen Darstel­ lung des Problems als Differential- bzw. Differenzengleichungssystem.

In den letzten Jahren wurde ich immer häufiger von Studenten ge­ fragt, warum sich ein mathematisches Gebiet gerade in dieser (meist in der Vorlesung vorgestellten) Weise entwickelt hat und nicht an­ ders, was die hauptsächlichen Triebfedern waren, und wie es weiter­ geht. Insbesondere interessierte, neben anderen Faktoren wie An­ wendbarkeit oder Querverbindungen zu anderen Gebieten, die Rolle, welche die großen klassischen Probleme bei der Entwicklung einer Theorie spielten. Die kürzlich erfolgte ungewöhnliche Lösung des 4-Farben Problems war mir ein willkommener Anlaß, den genauen Einfluß zu studieren, den dieses universell bekannte Problem vornehmlich auf die Graphen­ theorie hatte. Vielleicht schärfer als anderswo scheiden sich arn 4-Farben Problem die Geister. Die einen sagen, die Mathematik, die das 4-Farben Problem hervorgebracht hat, ist eine Marginalie und die Lösung mit ihrem enormen Computer Einsatz ist vorn ästheti­ schen Standpunkt aus geradezu abschreckend. Die anderen wieder~ meinen, daß das 4-Farben Problem fast im Alleingang eine ganze Dis­ ziplin hat entstehen lassen, eben die Graphentheorie, wie es in diesem Umfang höchst selten vorkommt, und daß die Lösung mit ihren vielfältigen Aspekten inner- und außermathematischer Art weit in die Zukunft weist. Die Arbeit an diesem Buch hat mich überzeugt, daß die zweite Auffassung eher zutrifft - und es ist meine Hoff­ nung, daß mir in der Darstellung hinreichende Argumente dafür ge­ lungen sind.

Dieses Skriptum ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich an den Universitaten MUnchen und Bayreuth gehalten habe, und gibt eine EinfUhrung in die Darstellungstheorie endlicher Gruppen, die etwa dem Umfang einer zweisemestrigen Vorlesung entspricht. Das Skriptum ist insbesondere fUr Studenten der Mathematik nach den VorprUfungen gedacht, wenn auch an algebraischem Grundwissen nur elementare Kenntnisse der Kerper-, Gruppen- und Modultheorie vorausgesetzt werden. Der Inhalt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil befaBt sich mit der gewehnlichen Darstellungstheorie, bei der man Gruppen in halbeinfache Algebren Uber einem Kerper einbettet und die Dar­ stellungen der Gruppen aus den Moduln Uber diesen Algebren er­ halt. Der zweite Teil behandelt die modulare Darstellungstheorie. Dabei werden zunachst die Grundlagen aus der Ring- und Modultheorie dargelegt. Dann wird auf die Theorie der nicht-halbeinfachen Gruppenalgebren eingegangen, wie sie vor allem von D.G. Higman, J.A. Green und G.O. Michler aufgebaut worden ist. SchlieBlich wird die klassische Methode der modularen Darstellungstheorie entwickelt, bei der man von einem bewerteten Kerper mit der Charakteristik 0 zu dem Radikalfaktorring des zugeherigen Bewer­ tungsrings Ubergeht. Einen genaueren Uberblick gewinnt der Leser durch das Inhalts­ verzeichnis sowie den schematischen Leitfaden, der die logische Abhangigkeit der einzelnen Abschnitte anzeigt. Insbesondere ist zum Verstandnis des zweiten Teils, wenn man von den Abschnitten 10.4 und 10.5 absieht, vom ersten Teil nur die Kenntnis der Abschnitte 1.1 bis 1.3 und die Definition 2.11 der Gruppen­ algebra notwendig.

In der griechischen Mathematik hat man L~ngen, Fl~chen, Volumina durch das Ausschöpfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, daß die Fläche eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlän­ gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flächenstücken die Flächeninhalte von einfachen Figuren wie Drei­ ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Fläche ei­ ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, daß der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) ~ a ~ Inhalt(Ae) für alle e>O, so gab man K den Flächeninhalt a. Es ist einfach zu sehen, daß dieser Begriff des Flächeninhalts additiv ist, d. h. es gilt für disjunkte K und K , für die man mittels des Ausschöpfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, daß K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Präzisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn­ te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro­ ximation von innen und außen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechtecken.

Das Konzept dieses Buches ist aus Vorlesungen und Seminaren entstan­ den, die ich im Rahmen eines Zyklus über Funktionalanalysis und Numerische Mathematik im Mathematik-Hauptstudium an der Technischen Universität Berlin gehalten habe. Es ist nicht für Spezialisten ge­ schrieben, sondern wendet sich an Leser, die damit beginnen wollen, sich mit der mathematischen Theorie der nichtlinearen Probleme zu beschäftigen. Vorkenntnisse werden über normierte Räume und lineare Operatoren vorausgesetzt und zwar in einem Umfang, der etwa dem In­ halt einer der üblichen Einführungen in die Funktionalanalysis ent­ spricht. Das bedeutet zum Beispiel, daß auf die Behandlung von Din­ gen verzichtet wird, die mit Hilfe der Homologietheorie erhalten werden oder die auf der Verwendung von Ordnungsstrukturen beruhen. Das Ziel dieses Buches besteht darin, in dem geschilderten Rahmen und bei möglichst geringem Umfang eine Einführung in die mittler­ weile mehr oder weniger klassischen Methoden zum Nachweis der Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen zu geben. Behandelt werden im einzelnen einige Verallgemeinerungen des Banachschen Fix­ punktsatzes sowie die Existenz und iterative Konstruktion von Fix­ punkten bei nichtexpansiven Operatoren, die Abbildungsgrade für stetige Abbildungen im Rn bzw. vOllstetige Störungen der Identität in Banach-Räumen und damit zusammenhängend die Existenz von Fix­ punkten bei vollstetigen Operatoren, die Variationsmethode und ihre vleiterführung in der Theorie der monotonen Operatoren sowie die Existenz von Fixpunkten bei mengenwertigen Operatoren.

Es werden wichtige, in der beruflichen Praxis verwendete Methoden der deskriptiven Statistik dargestellt. Anhand zahlreicher Beispiele und Illustrationen lernt der Leser, wie das bei einer statistischen Erhebung anfallende Datenmaterial so aufzubereiten ist, dass die gewunschte Information schnell und deutlich ersichtlich wird. Behandelt wird die grafische Darstellung sowie die Verdichtung von Daten durch statistische Mazahlen, wie Lage- und Streuungsparameter, Konzentrationsmae, Verhaltniszahlen und Indices und Korrelationskoeffizienten.