Bücher der Reihe Vieweg Studium; Grundkurs Mathematik

Die folgende Einflihrung in die Zahlentheorie entstand aus Vorlesungen, die· ich an der Universitiit des Saarlandes gehalten habe; sie urnfa~t ziernlich genau den Stoff, der im Verlauf eines Wintersemesters im Rahmen der Vorlesung tiber "Elementare Zahlentheorie" behandelt wurde. Diese Vorlesung hat zwei Ziele: Einerseits sollen moglichst viele Studenten angesprochen werden, denen die Vorlesung "mathematische Allgemeinbil­ dung" auf dem Gebiet der Zahlentheorie vermitteln soli; die fiir die Vor- Ie sung notwendigen Voraussetzungen z.B. auf dem Gebiet der Algebra sollen also moglichst gering sein. Tatsiichlich sollte die Kenntnis der algebraischen Grundstrukturen und ihrer elementarsten Eigenschaften geniigen; wenn an einigen Stellen etwas weitergehende Vberlegungen erforderlich sind, wird ver­ sucht, diese an Ort und Stelle bereitzustellen. Der Abschnitt tiber abelsche Gruppen kann als Beispiel dazu dienen. Natiirlich mu~ man fiir diese Vor­ gehen auch bezahlen, oft ersetzt das Rechnen zu Fu~ den eigentlich viel ein­ leuchtenderen strukturellen Beweis, die lastigen Nachrechnungen bei Ver­ kntipfungen von Restklassen sind ein deutliches Beispiel damr. Andererseits soli die Vorlesung interessierte Studenten auf die Algebraische Zahlentheorie vorbereiten; das Erreichen dieses Ziels sollte durch die Stoff­ auswahl untersttitzt werden.

Dieser Band (eine Erganzung zum Lehrbuch Lineare Algebra des Autors) enthalt Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterraumen in Vektorraumen werden allgemeine affine Raume eingefuhrt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel uber lineare Optimierung befasst sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann man die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Losung linearer Gleichungssysteme zuruckfuhren. Anschlieend wird der fur praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhange gelegt.

Dieses Buch ist entstanden unter Erinnerungen an die Zeit des eigenen Mathematik­ studiums, und unter dem Eindruck der Betreuung und Ausbildung von Mathematik­ studenten heute. Beides hatte zu dem Wunsch gefiihrt, über ein kleines handliches Nachschlagewerk zu verrugen, wenn der Student feststellen muß, daß er Defmitio­ nen oder den Wortlaut von Sätzen nicht in der notwendigen Präzision behalten hat, oder daß ihm Dinge, die ihm vor wenigen Monaten noch vertraut waren, schon wieder entfallen sind. Man braucht dann kein Lehrbuch und keinen straffen tlbersichtsartikel über die Theorie, denn darin ist die Stelle, an der es hakt, oft schwer zu finden und meist so in einen logischen Aufbau eingerugt, daß es vor allem den jüngeren Studenten schwerfällt, die richtige Auskunft herauszuziehen. Auch allgemeine mathematische Wörterbücher sind oft enttäuschend: Sie wollen es jedem rechtmachen, wenden sich an einen allzu großen Benutzerkreis und behandeln zu viele verschiedene Stoffge­ biete; so sind sie schließlich entweder zu umfangreich, oder die Stichwortartikel sind notwendigerweise zu knapp rur die Bedürfnisse des Fragenden. Man braucht stattdessen ein Büchlein, das in redlicher Abgrenzung auf den heute üblichen Stoff umfang in den Standardvorlesungen zu reiner Mathematik (und unbe­ eindruckt von enzyklopädischen Absichten oder besonderen mathematischen Ambi­ tionen) möglichst diejenigen Informationen unter geeigneten Stichwörtern zusam­ menfaßt, die einem Studenten an der Stelle erfahrungsgemäß am nützlichsten sind.

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik relevant sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die Analysis 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem 3. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

Dieses Buch will dem Studienanfanger einen Einstieg in die Numerische Mathematik bieten, eine Disziplin, die fruher ausschlielich im Hauptstudium angeboten wurde, inzwischen aber an mehreren Universitaten sinnvollerweise bereits im ersten Semester auf dem Lehrplan steht. Gerhard Opfer hat dafur ein Buch zur Einfuhrung verfat, das auf einem in vielen Semestern sorgfaltig uberpruften neuen Konzept beruht. Es tragt den Besonderheiten des Fachs mit vielen Beispielen und Aufgaben Rechnung. Der Student lernt, den Stoff selbstandig zu erarbeiten und zu vertiefen. Er wird bald einen Blick fur mogliche Reduzierungen des Aufwandes, den ein Algorithmus verursacht, fur die notwendige Stabilitat, die den immer auftretenden Rundungsfehlern Schranken setzt, und fur vorhandene, aber noch nicht genutzte Parallelisierungen, die Rechenzeit sparen helfen, entwickeln.