Bücher der Reihe Advances in Numerical Mathematics

All we need is to recover. - K. W. MORToN [103] Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen beschreiben fundamenta­ le Prinzipien in der uns umgebenden Natur und bilden die Basis ganzer Wissenschaftszweige. Die Euler-Gleichungen der Gasdynamik sind ein pro­ minentes Beispiel dieser Klasse und nach über 200 Jahren ihres Bekanntwer­ dens durch Euler ist die Frage nach der Existenz von Lösungen noch offen. Da die numerische Behandlung grundlegend ist für die Numerik der Navier­ Stokessehen Gleichungen, die die reibungsbehaftete kompressible Strömung von Fluiden (inklusive der Turbulenz) beschreiben, kommt der Entwicklung und Analysis numerischer Methoden seit einigen Jahrzehnten eine besondere Rolle zu. Im vorliegenden Buch wird eine moderne Klasse von Algorithmen - die wesentlich nichtoszillatorischen (ENO) Diskretisierungen - auf unstruktu­ rierten Gittern untersucht. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem al­ gorithmisch aufwendigsten Schritt, der über die Qualität einer solchen Me­ thode entscheidet. Es handelt sich dabei um die lokale Rekonstruktion einer Approximation an die Lösung aus gegebenen Zellmitteln. Wir verfolgen die Theorie der Optimalen Rekonstruktion und entwickeln neue Rekonstrukti­ onsalgorithmen unter Verwendung radialer Basisfunktionen, die als Splines in Semi-Hilbert-Räumen gewisse Optimalitätseigenschaften aufweisen.

Andreas Potschka discusses a direct multiple shooting method for dynamic optimization problems constrained by nonlinear, possibly time-periodic, parabolic partial differential equations. In contrast to indirect methods, this approach automatically computes adjoint derivatives without requiring the user to formulate adjoint equations, which can be time-consuming and error-prone. The author describes and analyzes in detail a globalized inexact Sequential Quadratic Programming method that exploits the mathematical structures of this approach and problem class for fast numerical performance. The book features applications, including results for a real-world chemical engineering separation problem.

Christian Kirches develops a fast numerical algorithm of wide applicability that efficiently solves mixed-integer nonlinear optimal control problems. He uses convexification and relaxation techniques to obtain computationally tractable reformulations for which feasibility and optimality certificates can be given even after discretization and rounding.

Numerical simulation promises new insight in science and engineering. In ad­ dition to the traditional ways to perform research in science, that is laboratory experiments and theoretical work, a third way is being established: numerical simulation. It is based on both mathematical models and experiments con­ ducted on a computer. The discipline of scientific computing combines all aspects of numerical simulation. The typical approach in scientific computing includes modelling, numerics and simulation, see Figure l. Quite a lot of phenomena in science and engineering can be modelled by partial differential equations (PDEs). In order to produce accurate results, complex models and high resolution simulations are needed. While it is easy to increase the precision of a simulation, the computational cost of doing so is often prohibitive. Highly efficient simulation methods are needed to overcome this problem. This includes three building blocks for computational efficiency, discretisation, solver and computer. Adaptive mesh refinement, high order and sparse grid methods lead to discretisations of partial differential equations with a low number of degrees of freedom. Multilevel iterative solvers decrease the amount of work per degree of freedom for the solution of discretised equation systems. Massively parallel computers increase the computational power available for a single simulation.

Projection methods had been introduced in the late sixties by A. Chorin and R. Teman to decouple the computation of velocity and pressure within the time-stepping for solving the nonstationary Navier-Stokes equations. Despite the good performance of projection methods in practical computations, their success remained somewhat mysterious as the operator splitting implicitly introduces a nonphysical boundary condition for the pressure. The objectives of this monograph are twofold. First, a rigorous error analysis is presented for existing projection methods by means of relating them to so-called quasi-compressibility methods (e.g. penalty method, pressure stabilzation method, etc.). This approach highlights the intrinsic error mechanisms of these schemes and explains the reasons for their limitations. Then, in the second part, more sophisticated new schemes are constructed and analyzed which are exempted from most of the deficiencies of the classical projection and quasi-compressibility methods. '... this book should be mandatory reading for applied mathematicians specializing in computational fluid dynamics.' J.-L.Guermond. Mathematical Reviews, Ann Arbor

Zum Kontext dieses Buches Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen beinhaltet im allgemeinen die Lösung großer bis sehr großer Gleichungssysteme. Bei dreidimensionalen Problemen z. B. sind mehrere Millionen Unbekannte keine Seltenheit, und obwohl die Rechenleistung der stärksten Computer in den letzten Jahrzehnten exponentiell angestiegen ist, könnten viele praxis­ relevante Probleme heute nicht gelöst werden, wären die Numeriker nicht bei der Entwicklung effizienter Algorithmen ähnlich erfolgreich gewesen. Zu den bemerkenswertesten Fortschritten auf diesem Gebiet zählt die Entwicklung adaptiver Mehrgitter-und Multilevelverfahren, deren Erfolg auf der Verschmelzung zweier leistungsfähiger Konzepte beruht: der Kombination adaptiver Diskretisierungstechniken mit schnellen Mehrgitter- bzw. Multilevellösern. Die Anwendung adaptiver Diskretisierungstechniken dient zunächst dazu, die Anzahl der Unbekannten und damit die Dimension des zu lösenden Gleichungssystems möglichst gering zu halten. Wurden früher zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen in erster Linie gleichmäßig strukturierte Rechteckgitter verwendet, so ist man heute durch den Einsatz ge­ eigneter Fehlerschätzer in der Lage, die Diskretisierung - ausgehend von einem relativ groben Anfangsgitter und einer entsprechend groben Näherungslösung - schrittweise an die aktuel­ le Näherungslösung anzupassen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Üblicherweise wird dazu das aktuelle Diskretisierungsgitter lokal verfeinert, und zwar an solchen Stellen, wo aufgrund entsprechender Fehlerabschätzungen eine höhere Genauigkeit zu erwarten ist, z. B. in der Nähe von Singularitäten, Grenzschichten, einspringenden Ecken, etc. Bereiche, in denen die Lösung sichals hinreichend glatt herausstellt, bleiben unverfeinert oder könne- etwa bei zeit abhängigen Anwendungen - sogar wieder vergröbert werden.

............ . 81 5.4.2 Multiskalenräume stetiger Funktionen . 89 5.5 Momentenbedingung . . . . . 94 5.6 Beispiele ........... . 97 5. 7 Der Unterteilungsalgorithmus 101 5.8 Interpolationsbasen ..... . 109 6 Approximationsverhalten und Normcharakterisierung 113 6.1 Approximation und Regularität ..