Bücher der Reihe Teubner Skripten Zur Mathematischen Stochastik

Based on lectures delivered since 1984 at the RWTH Aachen and at the Universit'at Oldenburg.

In den Arbeiten "Semiamarts and Finite Values" (1977) und "On Semiamarts, Amarts, and Processes with Finite Value" (1978) lieferten U. Krengel und L. Sucheston interessante Resultate fUr "Semiamarts" genannte Verallgemeinerungen von Martingalen. In diesem recht theoretischen Rahmen bewiesen sie, daB sich der Er­ wartungswert E sup X;;-bei stochastisch unabhangigen ZufallsgroBen Xn bzw. bei "arithmetischen" Mitteln durch ein Vielfaches des Wertes SUPr EXT) T Stopzeit, abschatzen laBt. Sie interpretierten dieses Resultat als Abschatzung fiir den Nachteil, den ein Spieler (der nur Stopregeln benutzen kann) gegeniiber einem allwissenden (jedoch nicht allmachtigen) Gegner1 hat. Kurz darauf benutzten Krengel und Sucheston fUr diesen Gegner, der die gesamte Zukunft kennt, die 2 einpragsamere Bezeichnung Prophet - und diese wurde von allen spateren Autoren iibernommen. In schneller Folge konnten etliche Autoren - insbesondere R. Kertz und T. Hill-weitere Prophetenun­ gleichungen beweisen und fUr interessante Klassen von stochastischen Prozessen die Menge aller moglichen Paare (suPr EXT) E sup Xn) charakterisieren (Prophetenregionen); es entstand ein neues Teil­ gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Prophetentheorie (die Publikumswirksamkeit dieser Bezeichnung mag durch die phoneti­ sche . Ahnlichkeit von "prophet theory" und "profit theory" verstarkt worden sein). Schlie:Blich konnte auch noch der bereits von U. Krengel und L. Sucheston implizit angemerkte spieltheoretische Aspekt des 3 Problems aufgegriffen werden; es wurden Spiele gegen einen Propheten untersucht. In diesem Skript solI ein Uberblick iiber Methoden und Ergebnisse der Prophetentheorie gegeben werden.

keine laufenden Einschrittgewinne berticksichtigt.

Der vorliegende Text basiert in seinen Grundzügen auf dem Manuskript zu einer Vorlesung über Erneuerungstheorie, die ich im Wintersemester 1986/87 und im Sommersemester 1987 zunächst zwei-und dann vierstündig an der Universität Kiel abgehalten habe. Als ich im Sommer 1986 damit begann, die ersten Kapitel niederzuschreiben, schwebte mir eine Monographie gerin­ geren Umfangs vor, die im wesentlichen die Hauptsätze der Erneuerungstheorie einschließlich vollständiger Beweise sowie eine Anzahl interessanter und zugleich typischer Anwendungen umfassen sollte. Von besonderer Bedeutung erschien mir die Darstellung des seit der Wieder­ entdeckung der Koppelungsmethode in den siebziger Jahren möglichen rein probabilistischen Zugangs, der bis dahin, zumindest im Hinblick auf den Hauptsatz der Erneuerungstheorie, d. h. das Blackwellsche Erneuerungstheorem, nicht existierte. Zusätzlichen Ansporn bot die Tatsache, daß dieser Zugang offenbar noch keine Aufnahme in einschlägigen Lehrbüchern ge­ funden hatte, wie überhaupt eine Monographie größeren Umfangs über Erneuerungstheorie überraschenderweise nicht verfügbar war. Letzteres brachte mich schließlich zu dem Entschluß, meine ursprüngliche Planung zu ändern und ein Buch zu schreiben, das sowohl eine Einführung in die klassischen Resultate unter Einschluß des bereits erwähnten probabilistischen Zugangs gibt als auch jüngere Entwicklungen berücksichtigt, wobei ich hier vor allem an die Theorie Harris-rekurrenter Markov-Ketten und die Markov-Erneuerungstheorie denke. Nachdem diese Entscheidung gefallen war, erschien zum Ende meiner Vorlesung Mitte 1987 Sören Asmussens exzellentes Werk "Applied Probability and Queues ", das mich zu einem erneuten Überdenken des begonnenen Projektes bewog, indem es wichtigeTeile des zuvor von mir avisierten und bisher in Lehrbuchform nicht verfügbaren Materials enthielt.

Der vorliegende Text ist eine Ausarbeitung einer zweimalig gehaltenen Vorlesung Uber "Asymptotische Statistik" im WS 1983/84 in Freiburg und im WS 1986/87 in MUnster. Aufbauend auf einer Vorlesung Uber finite Methoden der Statistik soll ein Einblick in wesentliche Fragestellungen und Methoden der asymptotischen Statistik gegeben werden. Das Manuskript setzt die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitstheorie und finiten Statistik voraus in dem Umfang, wie sie in den Ublichen Grund­ vorlesungen dargestellt wird. Der Inhalt und die Darstellung sind so gehalten, daB sie im wesentlichen in einer vierstUndigen Vorlesung im Wintersemester behandelt werden konnen. 1m Sinne der Intention dieser Schriftenreihe des Teubner Verlages handelt es sich nicht urn ein Voll­ standigkeit in der Darstellung anstrebendes Lehrbuch der asymptotischen Statistik, sondern urn einen einfUhrenden Vorlesungstext. Die Darstel­ lung selbst ist stark formelmaBig und nicht "episch" gehalten und ent­ spricht in dieser Form ebenfalls eher der Darstellung in einer Vorle­ sung mit ausfUhrlichen Beweisen und technischen Details. Das Ziel ist die Vermittlung und Erlauterung einiger zentraler Ideen und Methoden der asymptotischen Statistik. Einen natUrlichen Einstieg in die asymptotische Statistik bilden die klassischen Grenzwertsatze der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ihre Bedeu­ tung fUr statistische Fragestellungen wird im einfUhrenden Kapitel behandelt. Auf dieser Stufe lassen sich dann bereits einige wichtige' Probleme der asymptotischen Statistik. wie z. B. Dichteschatzungen, Schatzungen des Lokationsparameters. Fragen der Robustheit. behandeln und das Problem des asymptotischen Vergleichs unterschiedlicher sta­ tistischer Verfahren (Begriff der asymptotischen relativen Effizienz) darstellen.

In re cent years "Quality Control" has had a revival of al­ most incredible dimension. This revival is largely attribu­ table to the acknowledged success of Japanese products all over the world - success which is thought to be at least partly due to the socalled "Total Quality Control", Japanese Style" or "Company Wide Quality Control" philosophy. This Japanese way of quality control was developed chiefly by Dr. Kaoru Ishikawa and resembles in many aspects a spiritual movement. Ishikawa (1985) demands simultaneously the "best QC education to workers in the manufacturing divisions" and a "thought revolution in management". He defines quality control as follows: "To practice quality control is to deve­ lop, design, produce and service a quality product which is most economical, most useful, and always satisfactory to the consumer", i. e. quality control as enunciated by Ishikawa is very much related to an ethic of production. Hence Ishikawa calls Quality Control one of the basic objectives of a com­ pany and distinguishes strictly between Quality Control it­ self and its tools which are divided into two categories; proper techniques and (statistical) control techniques. This book deals with the latter, applying Ishikawa's general ideas to a small but nevertheless important facet of Total Quality Control. Consider a situation in which one must choose between seve­ ral different pieces of technical equipment all designed to produce the same end product. Generally the procedure where­ by adecision is reached consists of two steps.

Order statistics and record values appear in many statistical applications and are widely used in statistical modeling and inference. Both models describe random variables arranged in order of magnitude. In addition to these well-known models, several other models of ordered random variables, known and new ones, are introduced in this book such as order statistics with non-integral sample size, sequential order statistics, k-th record values, Pfeifer' s record model, k -records from non-identical distributions and ordered random variables which arise from n truncation of distributions. These models can be effectively applied, e.g., in reliability theory. Here, an order statistic represents the life-length of some r-out-of-n-system which is an important technical structure consisting of n components. For this application, a new and more adequate model is naturally suggested. Sequential order statistics serve as a model describing certain dependencies or interactions among the system components caused by failures of components. Record values are closely connected with the occurrence times of some corresponding non-homogeneaus Poisson process and used in so~lled shock models. More flexible record models, and therefore more applicable to practical situations, are considered here. The main purpose of this book is to present a concept of generalized order statistics as a unified approach to a variety of models of ordered random variables. In the distribution theoretical sense, all of the models mentioned above are contained in the proposed model of generalized order statistics.

Twenty-five years ago, Hans Blihlmann published his famous monograph Mathe­ matical Methods in Risk Theory in the series Grundlehren der Mathematischen Wis8enschaften and thus established nonlife actuarial mathematics as a recognized subject of probability theory and statistics with a glance towards economics. This book was my guide to the subject when I gave my first course on nonlife actuarial mathematics in Summer 1988, but at the same time I tried to incorporate into my lectures parts of the rapidly growing literature in this area which to a large extent was inspired by Blihlmann's book. The present book is entirely devoted to a single topic of risk theory: Its subject is the development in time of a fixed portfolio of risks. The book thus concentrates on the claim number process and its relatives, the claim arrival process, the aggregate claims process, the risk process, and the reserve process. Particular emphasis is laid on characterizations of various classes of claim number processes, which provide alternative criteria for model selection, and on their relation to the trinity of the binomial, Poisson, and negativebinomial distributions. Special attention is also paid to the mixed Poisson process, which is a useful model in many applications, to the problems of thinning, decomposition, and superposition of risk processe8, which are important with regard to reinsurance, and to the role of martingales, which occur in a natural way in canonical situations.