Polinormirowannye prostranstwa i obobschennye funkcii: Monografiq

Klassicheskij funkcional'nyj analiz stroitsq na osnowe normirowannogo prostranstwa ¿ wektornogo prostranstwa, kazhdomu älementu kotorogo sopostawleno chislo, nazywaemoe normoj ätogo älementa. Osnownym primerom normirowannogo prostranstwa qwlqetsq prostranstwo S[a, b] wseh neprerywnyh na otrezke [a, b], kazhdomu älementu kotorogo, t.e. kazhdoj neprerywnoj na otrezke [a, b] funkcij x(t), sopostawlqetsq chislo, kotoroe opredelqetsq kak maximum modulq funkcii x(t) na otrezke [a, b]. Odnako, esli rassmatriwat' prostranstwo neprerywnyh funkcij, zadannyh ne na otrezke, a na wsej chislowoj osi R, to maximuma modulq proizwol'noj neprerywnoj na R funkcii x(t) (naprimer, x(t) = t sin t), to maximuma modulq funkcij mozhet ne suschestwowat'. Jeto obstoqtel'stwo priwodit' k tomu, chto w prostranstwe wseh neprerywnyh na chislowoj osi funkcij wmesto odnoj normy neobhodimo rassmatriwat' beskonechnoe mnozhestwo polunorm,, gde polunorma s nomerom n opredelqetsq kak maximum modulq funkcii x(t) na otrezke [¿ n, n]..Sowokupnost' wseh opredelqüschih polunorm na prostranstwe H nazwana polinormoj, a samo prostranstwo, na kotorom opredelena polinorma, nazywaetsq polinormirowannym prostranstwom.